Arrow of Time

 

時間之箭

Characterizing a Statistical Arrow of Time in Quantum Measurement Dynamics

最後的魔法師

找到這個原句：
牛頓不是理性時代的第一人，而是最後的魔法師、、、、
說這句話的是凱因斯，就是那個經濟學家凱因斯。

“Newton was not the first of the age of reason. He was the last of the magicians, the last of the Babylonians and Sumerians, the last great mind that looked out on the visible and intellectual world with the same eyes as those who began to build our intellectual inheritance rather less than 10,000 years ago.”

― John Maynard Keynes

雲朵愛觀星

誰最愛看星星？


天上的雲愛看星星


看到感動得流淚了

《抽象化的幾個階段》－ 數學、白馬、還有抽象畫

最近跟學校老師在聊，才知道有些小孩可以接受物體數目的加減，而且學得很快。但是在數字的加減方面就遲疑了好一陣子。

對啊！這是抽象化啊！

三朵花加四朵花是七朵花，這是花朵數目的加法。小一小二的小孩一下子就會了。但是說到3+4=多少？這不是所有人就直接接受的。因為這裡含有抽象化的過程：三朵花是3、三頭牛是3、三條狗還是3、三個人也是3。具象的花、牛、狗、人都不見了，剩下數字而已。

數字3很具象啊！沒錯，對有些人來講可不是喔！他們可能只是把這數字的運算記下來而已，憑藉著記憶力，還是可以撐好一段時日。

接下來會遇到0。有個數字代表沒有。這也有許多人沒辦法馬上接受。然後還有負號，比沒有還少是甚麼概念呢？這有不少國中生花了好一段時間才用『好吧！我認了。』的心情，可能當成虛空地名，硬生生地記下來。

下一步的抽象，是從數字變成符號。數字可以這樣運算，符號也可以這樣運算。從方塊、三角形，接著用字母x, y代替。這裡也有很多中學生很勉強地吞下去，經過一番練習之後『好吧！』。

如果這三階段都真實體會了。那我們就可以來討論『白馬非馬』的問題了。

白馬非馬是戰國時代的公孫龍提出的。他說：『白馬』不是『馬』。（難道是豬嗎？）

當然不是這樣解。他一講完，就有人用集合的概念說：公孫先生，你說白馬不是馬，那紅馬也不是馬，藍馬也不是，我把所有顏色掃一遍，這世界不就沒有馬了嗎？

非也非也。白馬是說具體的一匹白色的馬。後面的『馬』是概念的馬。『具象的馬』跟『概念的馬』是不一樣的！！

講到『馬』，這是概念的馬，大家會有些共同的特徵，例如形體、速度。但是根據學習的經驗，每個人的概念會有些差異。但是具體一匹馬站在那裡，剩下的是觀察力跟描述詞彙的差異，大家講的是同一匹馬。

從具象到抽象，從具體的到概念的。數學上有，思想上有，藝術上也有－抽象畫。怎麼畫一個『人』，具備人的概念，可是又不是某一個人呢？

然後我們可以去欣賞抽象畫了。

花園星空的愛情故事

傳說七仙女在仙池沐髮，被牛郎看見了。接下來的愛情故事你們都知道了，最小的七仙女－織女，不顧媽媽王母娘娘的反對，跟凡人牛郎結婚，還生下了兩個小孩。

這段愛情故事，在夏日星空是織女星與牛郎星，隔著銀河鵲橋遙遙相望，中間還橫著一把十字型的天鵝座－王母娘娘的劍。牛郎星還牽著兩顆星星，像是他們的小孩。

同樣地，這段愛情故事，在人間流傳成一首詩，就是杜牧寫的

『天階夜色涼如水， 臥看牽牛織女星。』

那個牽牛，就是牛郎。

凡人牛郎到底有什麼魅力，讓織女醉心於他呢？為什麼不是跟地上的科學家相戀呢？

最近在照海花園尋找纏繞的攀緣植物，有了答案。絲瓜、豆苗等等是右螺旋的，繞女蘿的菟絲是右旋、百香果也是、連竹子的生長，也看得出是右旋的向上成長，甚至骨子裡的DNA也是右旋。那麼，哪裡有左旋呢？

右旋的蝶豆花

右旋的瓜藤

右旋的花藤

右旋的菟絲花

我在校園裡又繞了幾圈。終於發現了左旋的牽牛花。Bingo !

世人看不出牛郎有什麼特別，織女慧眼獨具，看到了他獨特的一面 － 我的他與眾不同。

左旋的牽牛花藤

既然如此，王母娘娘為什麼要反對呢？還祭出神劍，將他們分散銀河之兩端呢？

每年只有七夕可約，還不如參商之永不相見。

後來我又巡了巡校園。我找到答案了！

你想看到的，會在大自然中顯現。

我看到另外一種左旋的爬藤。換句話說，左旋的牽牛很特別，但也不致於特別到只有他這樣。以王母娘娘的高度，她自然是知道牛郎在織女眼中是很特別的，但是，像牛郎這樣的人不多，但也不致於要捨棄仙籍，落入凡間相許。

不過，用地球人的觀點來看，愛上左旋的織女，即使沒跟牽牛一起，也會鍾情於另外那些特別的左旋花吧！

《照海花園記》－

神聖幾何與金字塔

《入門》這本書上面寫說，古代祭司在傳授奧義時，會從正多面體的立體幾何開始，用柏拉圖選的那五個正多面體，來講『神靜止在自身之內』。

四個正三角形組成的正四面體，如果將四個面的中心點相連，會出現一個倒立的正四面體，這個新的正四面體的各面中心在相連，又有另一個正立的正四面體，如此可以延伸下去，也可以往外擴展下去。

正六面體的六個面的中心相連，會出現一個正八面體，正八面體的各面中心相連，又變成正六面體（的八個角），如此下去，六面、八面、六面、八面交互出現，可以向內延伸，也可以向外擴展。

由正五邊形組成的正十二面體，把十二面的中心相連，就成了正二十面體的十二個頂點，也就是說內部有個正二十面體。把正二十面體的二十個面中心相連，就會變成正十二面體的二十個頂點，也就是內部還有一個正十二面體。如此，12, 20, 12, 20交互出現，可以向內延伸，也可以向外擴展。

這柏拉圖的正多面體，就可以這樣分成三組，展現所謂的內在神性。

另外，立方體的裡面也可以藏了正四面體。就像我示範的切法，把正六面體的四個角沿著對角線切下，中間藏了個正四面體，具有內在神性的正四面體。切下來的四個直角錐呢？可以四個可以反接成金字塔。

換句話說，正六面體裡，藏著正四面體，還有一個金字塔。因此，所謂的金字塔，是正六面體與正四面體之間的差。也就是兩個具有內在神性的正多面體剩餘的部分，那個不具內在神性的部分。

（如果金字塔要展現內在神性，必須找出那個缺少的正四面體。如此一來，少掉的正四面體在哪裡呢？人面獅身嗎？）

這次我用蘿蔔糕試試看。比豆腐還好用。我相信羊羹更好用（但是中間會少掉一些～～）。

自我相似的生物構造

『自我相似』是生物形態的特徵之一，所謂自我相似，就是在不同的尺度下，類似的結構一再出現。放大之後，還是這個樣子。縮小之後，還是看到這個樣子。Zoom in 這樣，Zoom out也這樣的scale free現象。在數學（還是其他科學）被稱為『碎形 fractal』。

蕨類植物，是很容易觀察的對象。像照片所示，在肉眼尺度下，就可以看到的三階層結構，三階都相似，像羽毛那樣。

不同尺度下，生物體重複出現的型態。這意味著，從生物體的局部，就可以表現出全部。這個『局部表現全部』，正是『全息律』的基礎，這是從傳統醫學、占星術以來一直在用的觀念。例如中醫的經絡、穴道、耳針、腳底反射區。都是這種局部表現全部的醫療方式。全部的健康狀況反映在局部（的經絡、穴道、耳針、腳底反射區），治療方式可以從局部著手。

非生物的例子更多，像是晶格結構，微觀看來是六面體，最後組成一塊六面體結晶。家裡的地板，只要知道用哪一種地磚，然後在二維平面上重複copy就好。據說，JPEG圖形壓縮也是利用這個自我相似的原理，不用老老實實一點一點畫（那就是BMP檔），只要在圖裡找到自我重複的小元素，然後加上重複的規律，就可以（在你認不出的差異下）畫出整張圖了。

宗教人士認為這展現了造物者的偉大，所謂的『造物者停留在自身之內』，也就是說，要了解宇宙，可以往內尋求，我們內在就可以找到造物者的神奇，可以找到宇宙的規律。

Theory of everything，是許多物理學家的終極夢想，希望能找到一個定律，然後宇宙裡的現象都可以用這定律推導出來，都可以用這定律解釋。這種『一個原則統御世界』的想法，不知道從何而來，但是我們處處都看得到。（又例如，Maxwell將電磁的四個定律，變成一組Maxwell Equation，然後在相對論的架構下，這四個又統合成一個。）

豆腐幾何學

這是學人家教會的禮拜或是彌撒，牧師或神父在佈道的結束時候，會開紅酒（有的自己喝），然後會切起麵包當作聖體分享給信眾。有次跟著羅馬尼亞的朋友去東正教禮拜，他們是神父信徒一起喝酒吃麵包。我懂了，這叫做精神滿足之後，也要身體的滿足。

在那個愛吃的青少年班級，我嘗試用這種方式來帶立體幾何。

很多媽媽教室的初級課程，是手工豆腐。從黃豆浸泡、打漿、邊煮邊攪，下滷鹽，濾出水後壓製成塊狀的豆腐。

豆腐有營養，是手工料理的初級材料。其實，也是很好的立體幾何教材喔！


話說書上這樣寫，正六面體截去四個角，中間會留下一個正四面體，四個截下的直角三角錐反接回來，會形成一個四角錐的金字塔。正六面體就是金字塔與正四面體的組合，或是倒過來說，金字塔與正四面體可以組合成一個正六面體。

今天早上到新埔街上的百年豆腐店，才八點半，就只剩最後的五塊白豆乾。我們就用這豆乾，來驗證書上的說法。

然後就是去廚房要醬油，大家沾著醬油吃起白豆乾來了。

水星的力量

四月底開的百合，花瓣是六瓣，如果更仔細看看，其實是兩組三瓣上下相反所組成的。

由地球觀點往天空看的天文學，古來被稱為占星術，所謂的Geocentric Astrology，講的是這些行星與星座對地球的影響。既然是對地球的影響，用太陽中心有助於理解，可是終究要歸到地球觀點。

由地球看過去，水星緊跟在太陽旁邊，各位的星盤上，太陽星座跟水星星座不會離太遠。一年下來，水星的軌跡像是三瓣花朵，而且三進三出。因此，這些三倍數的花瓣或葉子，會當成是受到水星力量的影響。

百合花就是一個例子。

百合的花期很短，三月中開始冒出莖來，醞釀到四月中以後開花，在五月第一個禮拜左右就謝去。接著負責營養的葉子也跟著變黃，然後枯萎。像洋蔥一樣躲在地下等待來年。

去年鄰居的花圃要改種其他花朵，把土地翻了一遍，翻出的像洋蔥一樣的地下莖（還是根？）。他們準備要丟棄時，我剛好路過，就撿了幾個回家種，今年就照著時間開了。而且，全台灣幾乎同時開花。如果這個時間很準確，好像約好似的，應該是看日照時間（或是黑夜時間）來決定開花的，明年也應該是同一個日期。因為日照時間可以看太陽曆就知道。如果只是差不多，那可能是溫度決定的。

今年的水星逆行是3/22 - 4/24 跟著百合的生長有關係嗎？

好像有喔～～

水星繞太陽的速率比地球快，在外側的地球要追過水星的時候，由地球看出去，水星就好像倒退走一圈一樣。這時候，水星跟地球也最為接近，兩者都在橢圓軌道的同一邊。如果有影響，這時候應該要最大。（我是這樣猜想的啦～～）

水果攤就有的二維晶格

要看晶格不麻煩，在季節水果中就可以看到。

鳳梨的表面一格一格的，每一格都是一朵花結的果。
排起來出現兩種面貌。
（也是兩種價格啦！）

季節性的數與形。。。。

第一顆是金鑽鳳梨，標價79元；

第二顆是普通本產鳳梨，標價59元。

兩顆表面『格子』排列不一樣：

金鑽那顆是最密的六角晶格，每格都被另外六格圍住；
本產那顆是菱形格，每格像九宮格那樣被另外四格圍住。

從這裡可以稍微理解蜂窩的六角形構造。九宮格稍微地錯位，就成了蜂窩的六角晶格了。

無我

在想『我』這個概念時，先想想『無我』的概念。

我們不只是蛋白質、DNA、脂肪、糖類的組合而已。這些東西組合起來之後，為什麼會出現『我』這個主體的概念呢？

如果用程式碼來比喻，我這個主程式，是由好多個子程式組合而成，歷經人生的修改、補充、創造之後，形成新的子程式群。在肉體衰敗之後，這些子程式群就散落到阿卡莎那裡去，與其他眾生的子程式群，重新組合成新的人格，再次投身這個世界裡。

這樣的講法，『我』在今生結束之後就散去。部分的『我』，會跟其他人的經歷重組一個『新的我』，但是那個『新的我』是另一個人格，即使他帶有部分我的經歷，甚至還記得起這個『我』的某些片段回憶。這跟生物遺傳也很像，我們身上的DNA是來自祖先們的片段，可是那些都不是『我』，我也沒有他們生前的記憶。有因果，但是沒有人需要負責。

也有人主張，有個主體的『我』，像靈魂那樣存在，有自我的概念，在投身之前，會去阿卡莎那裡，東撿西挑一些人生片段，作為這輩子的基礎能力，然後來此生歷練。這樣的主張，就有一個靈魂，作為輪迴的主體。一生一世，不斷輪迴，直到功德圓滿，脫離輪迴。史代納的看法跟這個類似，人死之後，物質身腐爛、以太身散去，星辰身的種種經歷留在空間之中，像是提供經驗給其他存有。那個靈魂回到天界，等待下一次投身的時候，從這些種種經歷之中取得部份片段，與以太身加上物質身成為新的人格，新的一世。

這讓我想到卡通裡的組合機器人。

變形金剛除了機器人變車子，或是車子變機器人之外，還有Super Combine，就是有人變成手、有人變成腳、有人當身體跟頭。當然，全部接受那個當頭的機器人控制。

關於無我，我應該要問的是，那些變成手或腳的機器人，在super combine組合的時候，他們的『自我』在哪裡？是暫時關機消失，還是有意識感覺但是操控權不在自己身上？

學習的持續力－《十三行人》

人類的文明，可以說是火的文明．從不用火的石器時代，進入燒泥土的陶器時代，在進入比較低溫的青銅器時代，然後進入需要比較高溫的鐵器時代．台灣，也有會煉鐵的十三行人．北台灣也有銅礦，但是沒有發展出青銅器．我們跳過青銅器，直接進入鐵器時代．要注意的是，台灣進入鐵器時代的時間較晚，已經是西元後的事情了．簡單地說，煉鐵技術是十三行人學來的，不是在燒陶的過程中發展出來的．

以前，我會強調在台灣的住民，那種樂於學習的態度．即使不是自己發明，也要學習最先進的文明．所以，真空管不是我們發明的，我們就會製造積體電路，進入IC時代．這種追求先進文明的特性，從十三行人身上就看到了．現在的台灣人，也保持這種特性．


不過，今年我要講這種特性的另外一面．十三行人發展出來的煉鐵技術，只到了煉生鐵的程度，他們學會找鐵礦，也學會露天燒窯，但是也僅止於此．他們沒有繼續研究要怎麼提高溫度，也沒有發展保持高溫，沒有煉鋼．後來的鐵器，主要是貿易來的．煉金屬器的技術，不是從燒陶的燒製過程中發展出來的．也不會特別去注意「燒」的技術．學到了「煉鐵」就只會煉鐵．這也是現代台灣科技業的寫照．因為這些都不是自己發展出來的，是學來的、抄來的、買來的．當初買來的技術到哪裡，也就停在那裏．我們有學習的天性，卻沒有想要繼續發展的天性．

如果十三行人繼續發展學來的煉鐵技術，他們就會去改進煉鐵的鍋爐，發展控制溫度的技術．煉過紅土，再去煉看看其他土壤．即使順序顛倒，也應該會發展出自己的「青銅器」．然後煉鋼．也許在控溫的過程中，發展出量子力學．可惜，他們沒有，他們似乎在煉出不怎麼出色的鐵之後，就放棄發展「燒」的技術．不幸的是，我們似乎也遺傳到了這點．

所謂教育，不是只有告訴你很多事實，用方程式、定律塞滿了你的腦袋．還要你走出教室之後，還能自我學習，還能發展出自己的知識系統．對未知的事物感到好奇，會想去了解未知的事物．

十三行文化的意義，除了他們學習新事物的精神之外．還要記得，他們沒有繼續發展這個「新」事物．這個學習跟發展，要變成習慣，變成文化．如果各位有機會去十三行博物館，希望你能用這個角度去觀察，並且對照台灣的現況．

PS. 這是2014年寫的文章。現在遇到八年級有一樣的現象，他們樂於學習新知，但是淺嚐即止。沒什麼耐性繼續深入，連一步都很難跨出。原因是什麼？也許要連結到『趕』的台灣文化了。

《字詞通考》－掛了的智慧

上回講課的時候，講到牛頓古典世界觀到拉普拉斯魔鬼的命定論，邊講邊懂了為什麼說死掉叫掛了。明白了『掛了』的意思。

如果這人生是命定論的，今天會發生什麼事情，在昨天就決定好了。這樣一直往前推，在宇宙開始的那一刻，就註定各位在這堂課出席。然後看著你的人生就會發現，我們不過像是人生舞台的戲偶，要演什麼都不是我們可以決定的。


即使如此，我們還是可以有兩種態度去面對這樣的命定世界。

你是會覺得毫無希望，反正什麼都決定好了，怎麼努力都是徒然，甚至努力本身都不是發自於自由意志。
或者，你會感到輕鬆自在，反正事情如何發展，我都沒有責任。免了責任，你反而可以真正的悠遊人生。

如果是前者，你背負著比薛西佛斯還沈重的擔子，人生充滿了不願意、充滿著無可奈何。

如果是後者呢？這還要你相信人生結束之後，有個家可以回，我們的確是人生物台的戲偶，但是演完這齣戲，還可以下台做自己。那麼，這樣的態度應該是輕鬆自在才對。這樣的話，在我們人生結束時，就像是脫下這肉身，把戲服『掛了』起來，從容地下台回家（等著下次的演出）。

這樣說來，把離世稱為『掛了』，實在藏有大智慧啊！

奇蹟的1905，還有隔年

話說Einstein (1879 - 1955)在取得博士學位之後，沒能立即找到大學教職。為了養家，輾轉經親友介紹到了專利局工作。那時候，他有朋友還有老婆幫忙一起討論，論文一篇又一篇，直到學界注意到他。這幾篇論文（有五篇或六篇之說）裡面，有一篇是關於『布朗運動』的論文－關於顯微鏡下花粉在液體表面做不規則的折線運動，Einstein把這個當成是分子隨機運動的證據，進一步還可以推導出分子的大小。照《世紀天才》裡面演的，他跟他太太兩人，高興地說：這可以給實驗學家去測量，然後就可以證明分子的存在了！

那年是1905年，被稱為Einstein的奇蹟之年。（台灣脫離清朝統治要10年了。）


需要分子存在證據的，應該是當時另一個物理學前輩 Boltzmann (1844 - 1906) 所建立的理論。他巧妙地把熱學裡巨觀的物理量－溫度、熵，連結到微觀的分子運動。使得熱力學有了更基本的意義。問題是，討論分子運動得先證實分子的存在。在那個時代，分子還是個假設的東西。許多當時的物理學家都認為，分子不過是個假設而已。

Boltzmann在Einstein奇蹟的1905隔年，也就是1906年自殺身亡。

不知道已經61歲的他，有看到Einstein的論文嗎？還是看了之後，搖頭地認為，哎～～這還不足以證明分子的存在？

還是他透過如他墓誌銘上有關熵的公式，看到了宇宙的終結呢？

知道了有個後起的物理學家，提出證明分子存在的方法。對Boltzmann而言，也許也無法阻止他赴死的決心。然而，知道這件事情，也許讓他在生命的最後時刻感到一些寬慰－我所說的分子，不是假設性的粒子，而是真實的存在著。

台中歌劇院五樓的放映室，這是歌劇院設計者伊東豊雄專屬的放映室。
觀眾可以躺在懶骨頭放鬆欣賞。

天使的夢

2013年10月1日星期二，早上做了一個夢：

一開始，友人粉ㄟ在網路上秀，下面有一排字寫『全世界兒童最愛的公園』。那是一個大約三層樓高的噴火龍造型的溜滑梯，左右各一個，小朋友可以在龍的身體爬進爬出。然後我就跟女兒說，我覺得在德國的時候去過耶。（事實上是沒有）


接著，我們變成在玻璃大樓裡，看這噴火龍溜滑梯。有人指著天上說，天使！我抬頭一看，天上出現十二個天使，都是男生的模樣，中間有個長長捲髮，大鬍子。他們都沒有翅膀。就這樣飛下來，一一跟我握手之後，進了大樓。耶穌也跟在後面飛進來了。

這時候，我心裡想，萬一撒旦他們攻過來、打起來怎麼辦。這裡不就要變廢墟嗎？

旁邊有人指著一個穿黑西裝的天使，說是耶穌的守護天使，總共有兩位，這次來了一個。這個天使一副很酷的樣子，短髮、瘦小，他背對著大家，看著窗外。

接著有十二個女生懷了天使的小孩，每個肚子裡還是雙胞胎。這二十四個胎兒快速長大，三天就發育完成。

場景跳到小baby出生了，我們忽然間變成阿公阿嬤，而且是外公外婆。還有阿公阿嬤送母奶過來，說要幫忙餵小baby。（我就想，這不會是你這阿嬤的奶吧？）

然後小d寶發出聲音，把我吵醒。
這個夢很特別的是，場景都很明亮，天使都發柔光。我的夢大部份，開始的時候有背景，然後慢慢變暗，最後都變成晚上。大概是RAM不夠，所幸把背景忽略掉。

Circle of Fifths 外行人的數學解釋

音樂老師問我，Circle of Fifths的立體圖像，跟上一篇的多面體有關係嗎？

應該是有關的，因為都是重複性出現的結構，具有神靜止在自身之中的形象。

我不知道這Circle of Fifths中文怎麼翻，意思是說，你把十二音階，鋼琴鍵上的黑白鍵都算進去，一輪是十二個。以五來數，可以排出一個圈圈。這可以幫助了解樂曲的大調小調，選了這個調，會有幾個升記號或幾個降記號。原來從Do開始的七音，不用升記號。其他音開始的，加了升（或降）記號後，也可以找到聽起來才和諧的七音。

我找了一些資料後，發現這個Circle of Fifths，用Circle of Sevenths比較不會造成（像我這種沒音樂底子人的）誤解。當然啦！5+7 =12 用五跟七數法不同，道理是相通的。

音階的等比關係

要講Circle of Fifths，就先從音階講起。在人類耳朵的尺度裡，隨著音階頻率的升高（或是弦的變短），我們又可以聽到一樣和諧但是高一點的一組音階。隨著音階頻率的減低，一樣以可以聽到低一點，但是也和諧的另一組音階。高音的Do頻率是低音Do的兩倍，當然高音La的頻率也是低音La的兩倍。如此，將鍵盤上的黑白鍵全部算進去，一組八度音，有十二個鍵盤。先放棄八度音的8，用十二鍵盤的十二階來想，Do的頻率要乘以某個數12次之後，就到達高音Do，頻率變成兩倍。換言之，相鄰兩鍵之間的頻率相比，比值是2的12次根號，或說2^(1/12)。二的十二分之一次方。

 如果用同樣材質，拉同樣的鬆緊度。弦長就跟彈出來的聲音頻率成反比。也就是頻率越高弦越短，頻率越低弦越長。把這些弦由發出的聲音頻率，由低往高排，就會像圖畫的那樣。弦越長聲音越低，最後就超過人耳可聽的範圍，變成不連續的聲音。弦越短聲音越高，最後也超過人耳可聽的範圍。

因為音階之間的頻率，是倍比關係，所以這曲線是像指數上升的曲度。

然後，我們也會發現內在的相似。隨著弦等比變短，聲音越高。接著弦變成一半長，聲音高了八度。重複的結構再度出現，弦繼續等比變短，聲音越高。接著弦再變成一半長，聲音又高了八度。

神靜止在自身之內。

十二音階

再來我們看看這12音階，由Do到高音Do之間，分成12階，每階的聲音頻率，高了前面講的2^(1/12)倍。這就是所謂的『半音』。

如圖I 所示，把黑鍵也算進去，重新編號。這裏黑鍵的符號是要用Db，還是#C，這兩個音是不一樣的，但是為了方便簡化，我全部用b降記號來表示。重新編號之後，1=C, 2=Db, 3=D, 4=Eb, 5=E, 6=F, 7=Gb, 8=G, 9=Ab, 10=A, 11=Bb, 12=B。接著13是高音C，頻率變成兩倍，規則繼續重複，像是碎形一樣。

對我這種音樂外行人來看，有趣的地方是明明是12音，卻挑出其中的七音，變成音階。所以Do到高音Do叫八度，中間有七個間隔。（為什麼不挑6個？）因此，裡面就有全音跟半音混雜，而且由開始到結尾，要以2-2-1-2-2-2-1的間距出現，如圖II。這樣聽起來才好聽（才習慣）。用全音半音的順序來看，也就是全-全-半-全-全全-半，如此重複下去。

如圖II，C-D中間是2，鍵盤上差兩格，全音；D-E中間是2，鍵盤上差兩格，全音；E-F中間是1，鍵盤上差一格，半音；E-F中間是2，鍵盤上差兩格，全音；F-G中間是2，鍵盤上差兩格，全音；G-A中間是2，鍵盤上差兩格，全音；A-B中間是2，鍵盤上差兩格，全音；A-高音C中間是1，鍵盤上差一格，半音。（好像七言絕句的平仄一樣。）

這個2-2-1-2-2-2-1的間距很重要，這關係到『好聽』『順耳』。這跟移調、降key有關係。（至於為什麼這樣好聽？這似乎是神經學或是耳朵構造的謎題。）

卡拉OK以C起頭，後來唱到A就唱不上去，只好降Key以求全。就降到低音的F起頭好了，以F起頭，要保持2-2-1-2-2-2-1的間距，接下來是哪個音呢？這就是Circle of Fifths的功能之一。

Circle of Fifths

我們由1號C算起，連半音也算進去，算7個，接下來會遇到8號G，然後再加7，變成15，超過12，要減掉12，就變成3號D。按照這個原則『加7』『超過12減12』。就會像圖III那樣，產生C-G-D-A-E-B-Gb-Dv-Ab-Eb-Bb-F，然後又回到C。

既然又回到C，我們可以把這12音，像是時鐘那樣，畫成一個圓形，如圖IV。這就是Circle of Fifths。我認為用Circle of Sevenths比較容易理解，因為是加7原則產生的。也有人把這個圓，畫成螺旋Spiral，因為它會隨著旋轉而音階越來越高（或越低），邊旋轉邊上升，這就是螺旋了。

這圖形的功能，可以從0點鐘的C開始，如果你找的一組七音階是以C為首，（聽說是叫C大調），那麼你就不用任何#升記號或b降記號，也就是0個。如圖V，如果你由位於3點鐘方向的A起首（應該是A大調吧？），那麼你需要用到3個#升記號，也就是說，要遵守前面講的2-2-1-2-2-2-1的間距，你要彈到3個黑鍵。

 圖IV的Circle of Fifths 可以幫助你知道要用到幾個#升記號或b降記號，看你是用什麼調，也就是以第幾點鐘方向的音起首。（不過，我就不知道只為了這個功能去畫個圈圈的必要性與方便性了。）

下一篇我會繼續講這個圈圈上面數字的關聯，還有立體化之後的意義。

神靜止在祂的自身之內

神靜止在祂的自身之內

看到《入門》書上寫古代埃及祭司，在傳授神的道理時，用了平面與多面體的具體模型，來解釋造物者的真理——『神靜止在祂的自身之內』。我們是造物者所造之物，造物者最後靜止在受造物之內－也就是我們。因此，神不在外面，人只能往內尋找內在神性。

埃及祭司在傳授知識的時候，用幾何圖形比喻。他先用平面的正三角形，正三角形代表神，也就是造物者。在三角形的內部，還可以畫出一個三角形。如此下去，無窮無盡，最後，代表神的三角形，在三角形的最裡面，造物者可以向外創造，也可以向內。這就是『神靜止在祂自身之內』。

如果用立體圖形來比喻，如同這影片那樣，五角形組成的正十二面體，內含四角形組成的六面體，接著是三角形組成的四面體、三角形組成的八面體，然後是三角形組成的二十面體。而這正二十面體，剛好有十二個頂點。接著，如果你用最後那個二十面體的十二個頂點為中心，各畫一個面，又會出現最開始的十二面體。然後就是12, 6, 4, 8, 20 一直循環下去。多面體內部還可以切出另一個多面體，然後又可以切出另一個多面體，照這原則下去，最後又可以切出最開始的那個多面體，如此循環下去。

這就是『神靜止在他自身之內』。我們的內部，其實跟外部的道理是一樣的。最後，神又回到中心。

大祭司用這些對稱多面體的你中有我、我中有你的圖像，來比喻『造物者創造之後，停留在自己的中心』。

其實，這就是碎形(fractal)的概念之一，你仔細看，放大之後，跟原來是一樣的。縮小之後，也跟內部構造一樣。這概念就是，在人類尺度範圍內，物質遵守同樣的物理定律。

這也是全息律的觀點，我們是小宇宙，跟日月星辰的大宇宙息息相關。中醫對身體也有這樣的觀點，耳穴、足底按摩，都是用身體部份的耳朵、腳底的小宇宙，反映全身這個大宇宙。全身這個大宇宙的健康狀況，會表現在小宇宙的耳朵跟腳（或其他部分）。治療也可以逆向操作，由小宇宙治療起，保持大宇宙的健康。

這就不就像前面所說的層層結構嗎？

宇宙或許不像克卜勒他們那時代認為的，是由多面體晶體層層包裹組成的。但是這個『向外等於向內』的觀念是相通的。Steiner也這樣講，要了解宇宙的真理，要向內部尋找。要了解內部的真理，可以向外觀察。

如果要從科學的觀點來看，就是說在人類的尺度上，規範這世界的物理定律是一樣的。你會在日月星辰上發現跟地球上相通的道理。月亮繞地球的原理，跟蘋果掉下來的原理是一樣的。小小葉子邊緣，跟整個樹葉成長的模式是相通的。這是碎形在講的，你拿放大鏡一看，還會發現小結構跟大結構是類似的。因為他們在這尺度下，遵循同樣的物理定律。

夢 — 彩虹橋

彩虹的起因，簡單地說就是因為不同顏色的光，在穿透水滴的時候，跑的速度不一樣，有快有慢，轉得角度也跟著不同，原來的白光，就散成七色彩虹了。其實，也不一定要水滴，只要不是真空，就會有快有慢，而且快慢的順序跟彩虹一樣。這叫做『色散』。

好了，去年開始『光的課程』。他們把人類比喻成光，人類本來是沒有形狀的光，然後透過『彩虹橋』，到了有形體的人類身上，體驗有喜怒哀樂各種感受的人生。


於是，前天做了一個夢。夢見人本來的那道白光，經過宇宙，飛行了好幾個星系，然後經過一些物質，產生色散。原本的一道白光，變成像火車一樣，一節車廂一個顏色，直奔地球而來。啊！這就是彩虹橋的意思嗎？

語言的時空觀

語言的結構會影響使用者對世界的觀點或認知。

這是語言學裡的Sapir-Whorf Hypothesis。（電影《Arrival》裡面所引用的那句）

思想化成語言，嘴巴怎麼講，代表腦袋怎麼想。反過來說，語言也會影響思考習慣，話說久了，就變成習慣語，也變成習慣的思考模式。我們把空間的前後，跟時間的順序，混在一起用了。語言看不到未來，思想是否也這樣？‘

如果把人生當成是一班開往未來的列車，我們是車上的乘客。我們的座位是朝向車頭，還是朝向車尾？（時光機器的想像）

說要看向未來、前瞻未來。可惜，我們使用的語言不是這樣。我們的座位是朝向車尾，我們背對車頭，在我們眼前的不是『未來』，而是『過去』。

過去的事情怎麼說？

『以前』有個偉人。。。。
『從前』有位公主。。。。

過去的人，我們說『前輩』、『前人』。

在我們『眼前』陳列的，盡是過去的事，過去的人。我們前瞻何處？過去啊！

未來的事情怎麼說？

『以後』，我要奮發圖強。。。
從今『以後』，我要戒掉壞習慣。。。。

在這樣的語言表達裡，我們是用什麼向著未來？
我們用『背後』，我們用『屁股』。我們面向過去，未來在我們的後面。

眼前所見的，都是過去的事情。
我們使用的語言，沒有前瞻性，看不到未來。

思想化成語言。在我們的思想裡，是不是也背對『未來』？

哲學家朋友說得好：在中國文化裡，不用看未來，只要看著祖先就好，祖先會幫我們指引方向。
這樣的文化怎麼演進呢？而且語彙裡就崇古賤今，例如古代，比古代還早的叫『上古』，『上』就是位階比較高的字眼。

學歷史，看過去的事情，就意義上來說，是要能記取過去的歷史教訓，從中『啓發』我們處理未來事件的態度。但是，如果只是從歷史裡學習，凡是以古人為依據，這樣就夠了嗎？當然是不夠的，古人再怎麼神聖，也不是活在現代，這是根本上的差異啊！拿古人的方式當樣板，固然有用，可是也要注意到他們『不是現代人』的基本差異，時空人物通通不一樣了。所以前面我用『啓發』，而不是學習，更不是摹仿。

那怎麼辦呢？

也許羅馬神話裡的神祇Janus可以當參考。他有兩個面。一面朝過去，一面朝未來。意思是說，我們看著過去的事情，不要忘記，但是也要看著未來，前瞻未來。

（《宗像教授》裡的時間之神也可以借鏡：時間之神沒有正面，只有背面，因為祂總是跑再最前頭。）

接著，我盡量少用『以後』『從前』的字眼。我會說，未來再過十年；我會說，在過去十年的時候。我要在語彙裡區隔『時間順序』和『空間前後』。

所以，我開始講『未來』的故事。