Circle of Fifths 外行人的數學解釋

音樂老師問我，Circle of Fifths的立體圖像，跟上一篇的多面體有關係嗎？

應該是有關的，因為都是重複性出現的結構，具有神靜止在自身之中的形象。

我不知道這Circle of Fifths中文怎麼翻，意思是說，你把十二音階，鋼琴鍵上的黑白鍵都算進去，一輪是十二個。以五來數，可以排出一個圈圈。這可以幫助了解樂曲的大調小調，選了這個調，會有幾個升記號或幾個降記號。原來從Do開始的七音，不用升記號。其他音開始的，加了升（或降）記號後，也可以找到聽起來才和諧的七音。

我找了一些資料後，發現這個Circle of Fifths，用Circle of Sevenths比較不會造成（像我這種沒音樂底子人的）誤解。當然啦！5+7 =12 用五跟七數法不同，道理是相通的。

音階的等比關係

要講Circle of Fifths，就先從音階講起。在人類耳朵的尺度裡，隨著音階頻率的升高（或是弦的變短），我們又可以聽到一樣和諧但是高一點的一組音階。隨著音階頻率的減低，一樣以可以聽到低一點，但是也和諧的另一組音階。高音的Do頻率是低音Do的兩倍，當然高音La的頻率也是低音La的兩倍。如此，將鍵盤上的黑白鍵全部算進去，一組八度音，有十二個鍵盤。先放棄八度音的8，用十二鍵盤的十二階來想，Do的頻率要乘以某個數12次之後，就到達高音Do，頻率變成兩倍。換言之，相鄰兩鍵之間的頻率相比，比值是2的12次根號，或說2^(1/12)。二的十二分之一次方。

 如果用同樣材質，拉同樣的鬆緊度。弦長就跟彈出來的聲音頻率成反比。也就是頻率越高弦越短，頻率越低弦越長。把這些弦由發出的聲音頻率，由低往高排，就會像圖畫的那樣。弦越長聲音越低，最後就超過人耳可聽的範圍，變成不連續的聲音。弦越短聲音越高，最後也超過人耳可聽的範圍。

因為音階之間的頻率，是倍比關係，所以這曲線是像指數上升的曲度。

然後，我們也會發現內在的相似。隨著弦等比變短，聲音越高。接著弦變成一半長，聲音高了八度。重複的結構再度出現，弦繼續等比變短，聲音越高。接著弦再變成一半長，聲音又高了八度。

神靜止在自身之內。

十二音階

再來我們看看這12音階，由Do到高音Do之間，分成12階，每階的聲音頻率，高了前面講的2^(1/12)倍。這就是所謂的『半音』。

如圖I 所示，把黑鍵也算進去，重新編號。這裏黑鍵的符號是要用Db，還是#C，這兩個音是不一樣的，但是為了方便簡化，我全部用b降記號來表示。重新編號之後，1=C, 2=Db, 3=D, 4=Eb, 5=E, 6=F, 7=Gb, 8=G, 9=Ab, 10=A, 11=Bb, 12=B。接著13是高音C，頻率變成兩倍，規則繼續重複，像是碎形一樣。

對我這種音樂外行人來看，有趣的地方是明明是12音，卻挑出其中的七音，變成音階。所以Do到高音Do叫八度，中間有七個間隔。（為什麼不挑6個？）因此，裡面就有全音跟半音混雜，而且由開始到結尾，要以2-2-1-2-2-2-1的間距出現，如圖II。這樣聽起來才好聽（才習慣）。用全音半音的順序來看，也就是全-全-半-全-全全-半，如此重複下去。

如圖II，C-D中間是2，鍵盤上差兩格，全音；D-E中間是2，鍵盤上差兩格，全音；E-F中間是1，鍵盤上差一格，半音；E-F中間是2，鍵盤上差兩格，全音；F-G中間是2，鍵盤上差兩格，全音；G-A中間是2，鍵盤上差兩格，全音；A-B中間是2，鍵盤上差兩格，全音；A-高音C中間是1，鍵盤上差一格，半音。（好像七言絕句的平仄一樣。）

這個2-2-1-2-2-2-1的間距很重要，這關係到『好聽』『順耳』。這跟移調、降key有關係。（至於為什麼這樣好聽？這似乎是神經學或是耳朵構造的謎題。）

卡拉OK以C起頭，後來唱到A就唱不上去，只好降Key以求全。就降到低音的F起頭好了，以F起頭，要保持2-2-1-2-2-2-1的間距，接下來是哪個音呢？這就是Circle of Fifths的功能之一。

Circle of Fifths

我們由1號C算起，連半音也算進去，算7個，接下來會遇到8號G，然後再加7，變成15，超過12，要減掉12，就變成3號D。按照這個原則『加7』『超過12減12』。就會像圖III那樣，產生C-G-D-A-E-B-Gb-Dv-Ab-Eb-Bb-F，然後又回到C。

既然又回到C，我們可以把這12音，像是時鐘那樣，畫成一個圓形，如圖IV。這就是Circle of Fifths。我認為用Circle of Sevenths比較容易理解，因為是加7原則產生的。也有人把這個圓，畫成螺旋Spiral，因為它會隨著旋轉而音階越來越高（或越低），邊旋轉邊上升，這就是螺旋了。

這圖形的功能，可以從0點鐘的C開始，如果你找的一組七音階是以C為首，（聽說是叫C大調），那麼你就不用任何#升記號或b降記號，也就是0個。如圖V，如果你由位於3點鐘方向的A起首（應該是A大調吧？），那麼你需要用到3個#升記號，也就是說，要遵守前面講的2-2-1-2-2-2-1的間距，你要彈到3個黑鍵。

 圖IV的Circle of Fifths 可以幫助你知道要用到幾個#升記號或b降記號，看你是用什麼調，也就是以第幾點鐘方向的音起首。（不過，我就不知道只為了這個功能去畫個圈圈的必要性與方便性了。）

下一篇我會繼續講這個圈圈上面數字的關聯，還有立體化之後的意義。

神靜止在祂的自身之內

神靜止在祂的自身之內

看到《入門》書上寫古代埃及祭司，在傳授神的道理時，用了平面與多面體的具體模型，來解釋造物者的真理——『神靜止在祂的自身之內』。我們是造物者所造之物，造物者最後靜止在受造物之內－也就是我們。因此，神不在外面，人只能往內尋找內在神性。

埃及祭司在傳授知識的時候，用幾何圖形比喻。他先用平面的正三角形，正三角形代表神，也就是造物者。在三角形的內部，還可以畫出一個三角形。如此下去，無窮無盡，最後，代表神的三角形，在三角形的最裡面，造物者可以向外創造，也可以向內。這就是『神靜止在祂自身之內』。

如果用立體圖形來比喻，如同這影片那樣，五角形組成的正十二面體，內含四角形組成的六面體，接著是三角形組成的四面體、三角形組成的八面體，然後是三角形組成的二十面體。而這正二十面體，剛好有十二個頂點。接著，如果你用最後那個二十面體的十二個頂點為中心，各畫一個面，又會出現最開始的十二面體。然後就是12, 6, 4, 8, 20 一直循環下去。多面體內部還可以切出另一個多面體，然後又可以切出另一個多面體，照這原則下去，最後又可以切出最開始的那個多面體，如此循環下去。

這就是『神靜止在他自身之內』。我們的內部，其實跟外部的道理是一樣的。最後，神又回到中心。

大祭司用這些對稱多面體的你中有我、我中有你的圖像，來比喻『造物者創造之後，停留在自己的中心』。

其實，這就是碎形(fractal)的概念之一，你仔細看，放大之後，跟原來是一樣的。縮小之後，也跟內部構造一樣。這概念就是，在人類尺度範圍內，物質遵守同樣的物理定律。

這也是全息律的觀點，我們是小宇宙，跟日月星辰的大宇宙息息相關。中醫對身體也有這樣的觀點，耳穴、足底按摩，都是用身體部份的耳朵、腳底的小宇宙，反映全身這個大宇宙。全身這個大宇宙的健康狀況，會表現在小宇宙的耳朵跟腳（或其他部分）。治療也可以逆向操作，由小宇宙治療起，保持大宇宙的健康。

這就不就像前面所說的層層結構嗎？

宇宙或許不像克卜勒他們那時代認為的，是由多面體晶體層層包裹組成的。但是這個『向外等於向內』的觀念是相通的。Steiner也這樣講，要了解宇宙的真理，要向內部尋找。要了解內部的真理，可以向外觀察。

如果要從科學的觀點來看，就是說在人類的尺度上，規範這世界的物理定律是一樣的。你會在日月星辰上發現跟地球上相通的道理。月亮繞地球的原理，跟蘋果掉下來的原理是一樣的。小小葉子邊緣，跟整個樹葉成長的模式是相通的。這是碎形在講的，你拿放大鏡一看，還會發現小結構跟大結構是類似的。因為他們在這尺度下，遵循同樣的物理定律。