2017年8月27日 星期日

Circle of Fifths 數字的六角形

從前一篇,知道了這個圈圈是怎麼用+7法則產生的,十二音是怎麼排上去的。接下來,這個圈圈上面的數字(其實是音階)有什麼關聯呢?



奇偶六角形

由0點鐘方向的C出發,與隔一點的D連線,再隔一點連接E,然後是Gb, Eb, Bb,最後又回到C。這可以畫出一個六角形,他們的數字剛好是1-3-5-7-9-11。同樣的方式,由7點鐘方向的Db出發,與隔一點的Eb連線,再隔一點連接F,然後是G, A, B,最後又回到Db,他們的數字剛好是2-4-6-8-10-12。用十二音來看,一個是奇數六角,一個是偶數六角。這是因為用+7法則產生的結果。

我沒有用音樂來聽看看這奇偶六角形,聽起來會是什麼樣子。這裏純粹是看數字的關係。

還有,在圈圈上的對角方向,數字是差6。

立體的Circle of Fifths

接下來是問題的所在,有人把平面的圈圈立體化了。問題是,平面就可以幫助作曲者找調,加#升記號或b降記號,畫成立體可以多看到什麼嗎?



這立體不是正多面體,而是有三角形跟四角形組成。或者說,你用六個四角形,上面三個,下面三個搭起一個立體形狀,把三角形當成空的。或者是把四角形當成空的,用八個三角形來搭起一個立體形狀。我是比較偏向後者,不要管四角形的部分。

於是,你會發現這裡面有八個三角形,分別是頂的CGD、底的DbGbAb、上面的DAE, GEbB, CFBb,還有下面的EBGb, BbEbAb, AFDb。我們把數字標上去,他們分別是1-8-3(CGD), 2-7-9(DbGbAb), 3-10-5(DAE), 8-4-12(GEbB), 1-6-11(CFBb),5-12-7 (EBGb), 11-4-9(BbEbAb), 10-6-2(AFDb)。

藍色字的三角形,『邊長』(就是數字相減)是2-5-7,那這2-5-7是什麼意思呢?我猜~~

2是相鄰的全音。
5:2-2-1,就是12音階的第一段。
7:2-2-2-1,就是12音階的第二段。

聽起來怎麼樣,就要實際演奏看看。



 至於那個不是2-5-7的兩個三角形,從我們這角度看過去,8-4-12(GEbB)和10-6-2(AFDb),就是偶數六角形。其他外圈的六個,就是奇數六角形。

六角形之半音三角 

橫著還可以連出三個六角形,分別是AEBEbBbF、CGBGbDbF、還有DADbAbEbG,改成數字分別就是10-5-12-4-11-6、1-8-12-7-2-6、還有3-10-2-9-4-8,這三個六角形,分別可拆成兩組相鄰的三角形(或說是半音三角形):

10-5-12-4-11-6 : 10-12-11 + 5-4-6

1-8-12-7-2-6:1-12-2 + 8-7-6  (因為是循環,12 = -1)

3-10-2-9-4-8:3-2-4 + 10-9-8

當然,這跟原來幫助作曲、找key、加升降記號的功能都不一樣了。這已經是數字遊戲了。

不過,有樂器的人,還是可以沿著這些三角形、六角形,試著演奏一下,來來回回重複聽看看。

最後兩個問題:

那個中心是什麼?
神有靜止在自己的內在嗎?

既然音階代表的頻率是等比數列,那麼,中心應該是所謂幾何平均數,就是兩端相乘開根號。實際乘看看,並不是。兩端數字相減差六,就是有一端要乘2^(1/12)六次會跑到另一端去。中心,是不是乘以2^(1/12)三次,也就是2^(1/4)呢?好像也不是。

這件事,就請音樂家、數字迷來猜想吧~~





2017年8月26日 星期六

Circle of Fifths 外行人的數學解釋

音樂老師問我,Circle of Fifths的立體圖像,跟上一篇的多面體有關係嗎?

應該是有關的,因為都是重複性出現的結構,具有神靜止在自身之中的形象。

我不知道這Circle of Fifths中文怎麼翻,意思是說,你把十二音階,鋼琴鍵上的黑白鍵都算進去,一輪是十二個。以五來數,可以排出一個圈圈。這可以幫助了解樂曲的大調小調,選了這個調,會有幾個升記號或幾個降記號。原來從Do開始的七音,不用升記號。其他音開始的,加了升(或降)記號後,也可以找到聽起來才和諧的七音。

我找了一些資料後,發現這個Circle of Fifths,用Circle of Sevenths比較不會造成(像我這種沒音樂底子人的)誤解。當然啦!5+7 =12 用五跟七數法不同,道理是相通的。

音階的等比關係

要講Circle of Fifths,就先從音階講起。在人類耳朵的尺度裡,隨著音階頻率的升高(或是弦的變短),我們又可以聽到一樣和諧但是高一點的一組音階。隨著音階頻率的減低,一樣以可以聽到低一點,但是也和諧的另一組音階。高音的Do頻率是低音Do的兩倍,當然高音La的頻率也是低音La的兩倍。如此,將鍵盤上的黑白鍵全部算進去,一組八度音,有十二個鍵盤。先放棄八度音的8,用十二鍵盤的十二階來想,Do的頻率要乘以某個數12次之後,就到達高音Do,頻率變成兩倍。換言之,相鄰兩鍵之間的頻率相比,比值是2的12次根號,或說2^(1/12)。二的十二分之一次方。



 如果用同樣材質,拉同樣的鬆緊度。弦長就跟彈出來的聲音頻率成反比。也就是頻率越高弦越短,頻率越低弦越長。把這些弦由發出的聲音頻率,由低往高排,就會像圖畫的那樣。弦越長聲音越低,最後就超過人耳可聽的範圍,變成不連續的聲音。弦越短聲音越高,最後也超過人耳可聽的範圍。

因為音階之間的頻率,是倍比關係,所以這曲線是像指數上升的曲度。

然後,我們也會發現內在的相似。隨著弦等比變短,聲音越高。接著弦變成一半長,聲音高了八度。重複的結構再度出現,弦繼續等比變短,聲音越高。接著弦再變成一半長,聲音又高了八度。

神靜止在自身之內。

十二音階

再來我們看看這12音階,由Do到高音Do之間,分成12階,每階的聲音頻率,高了前面講的2^(1/12)倍。這就是所謂的『半音』。



如圖I 所示,把黑鍵也算進去,重新編號。這裏黑鍵的符號是要用Db,還是#C,這兩個音是不一樣的,但是為了方便簡化,我全部用b降記號來表示。重新編號之後,1=C, 2=Db, 3=D, 4=Eb, 5=E, 6=F, 7=Gb, 8=G, 9=Ab, 10=A, 11=Bb, 12=B。接著13是高音C,頻率變成兩倍,規則繼續重複,像是碎形一樣。

對我這種音樂外行人來看,有趣的地方是明明是12音,卻挑出其中的七音,變成音階。所以Do到高音Do叫八度,中間有七個間隔。(為什麼不挑6個?)因此,裡面就有全
跟半音混雜,而且由開始到結尾,要以2-2-1-2-2-2-1的間距出現,如圖II。這樣聽起來才好聽(才習慣)。用全半音的順序來看,也就是全-全-半-全-全-半,如此重複下去。




如圖II,C-D中間是2,鍵盤上差兩格,全音;D-E中間是2,鍵盤上差兩格,全音;E-F中間是1,鍵盤上差一格,半音;E-F中間是2,鍵盤上差兩格,全音;F-G中間是2,鍵盤上差兩格,全音;G-A中間是2,鍵盤上差兩格,全音;A-B中間是2,鍵盤上差兩格,全音;A-高音C中間是1,鍵盤上差一格,半音。(好像七言絕句的平仄一樣。)

這個2-2-1-2-2-2-1的間距很重要,這關係到『好聽』『順耳』。這跟移調、降key有關係。(至於為什麼這樣好聽?這似乎是神經學或是耳朵構造的謎題。)

卡拉OK以C起頭,後來唱到A就唱不上去,只好降Key以求全。就降到低音的F起頭好了,以F起頭,要保持2-2-1-2-2-2-1的間距,接下來是哪個音呢?這就是Circle of Fifths的功能之一。

Circle of Fifths

我們由1號C算起,連半音也算進去,算7個,接下來會遇到8號G,然後再加7,變成15,超過12,要減掉12,就變成3號D。按照這個原則『加7』『超過12減12』。就會像圖III那樣,產生C-G-D-A-E-B-Gb-Dv-Ab-Eb-Bb-F,然後又回到C。


既然又回到C,我們可以把這12音,像是時鐘那樣,畫成一個圓形,如圖IV。這就是Circle of Fifths。我認為用Circle of Sevenths比較容易理解,因為是加7原則產生的。也有人把這個圓,畫成螺旋Spiral,因為它會隨著旋轉而音階越來越高(或越低),邊旋轉邊上升,這就是螺旋了。



這圖形的功能,可以從0點鐘的C開始,如果你找的一組七音階是以C為首,(聽說是叫C大調),那麼你就不用任何#升記號或b降記號,也就是0個。如圖V,如果你由位於3點鐘方向的A起首(應該是A大調吧?),那麼你需要用到3個#升記號,也就是說,要遵守前面講的2-2-1-2-2-2-1的間距,你要彈到3個黑鍵。





 圖IV的Circle of Fifths 可以幫助你知道要用到幾個#升記號或b降記號,看你是用什麼調,也就是以第幾點鐘方向的音起首。(不過,我就不知道只為了這個功能去畫個圈圈的必要性與方便性了。)

下一篇我會繼續講這個圈圈上面數字的關聯,還有立體化之後的意義。


神靜止在祂的自身之內

神靜止在祂的自身之內

看到《入門》書上寫古代埃及祭司,在傳授神的道理時,用了平面與多面體的具體模型,來解釋造物者的真理——『神靜止在祂的自身之內』。我們是造物者所造之物,造物者最後靜止在受造物之內-也就是我們。因此,神不在外面,人只能往內尋找內在神性。

埃及祭司在傳授知識的時候,用幾何圖形比喻。他先用平面的正三角形,正三角形代表神,也就是造物者。在三角形的內部,還可以畫出一個三角形。如此下去,無窮無盡,最後,代表神的三角形,在三角形的最裡面,造物者可以向外創造,也可以向內。這就是『神靜止在祂自身之內』。




如果用立體圖形來比喻,如同這影片那樣,五角形組成的正十二面體,內含四角形組成的六面體,接著是三角形組成的四面體、三角形組成的八面體,然後是三角形組成的二十面體。而這正二十面體,剛好有十二個頂點。接著,如果你用最後那個二十面體的十二個頂點為中心,各畫一個面,又會出現最開始的十二面體。然後就是12, 6, 4, 8, 20 一直循環下去。多面體內部還可以切出另一個多面體,然後又可以切出另一個多面體,照這原則下去,最後又可以切出最開始的那個多面體,如此循環下去。

這就是『神靜止在他自身之內』。我們的內部,其實跟外部的道理是一樣的。最後,神又回到中心。





大祭司用這些對稱多面體的你中有我、我中有你的圖像,來比喻『造物者創造之後,停留在自己的中心』。

其實,這就是碎形(fractal)的概念之一,你仔細看,放大之後,跟原來是一樣的。縮小之後,也跟內部構造一樣。這概念就是,在人類尺度範圍內,物質遵守同樣的物理定律。

這也是全息律的觀點,我們是小宇宙,跟日月星辰的大宇宙息息相關。中醫對身體也有這樣的觀點,耳穴、足底按摩,都是用身體部份的耳朵、腳底的小宇宙,反映全身這個大宇宙。全身這個大宇宙的健康狀況,會表現在小宇宙的耳朵跟腳(或其他部分)。治療也可以逆向操作,由小宇宙治療起,保持大宇宙的健康。

這就不就像前面所說的層層結構嗎?


宇宙或許不像克卜勒他們那時代認為的,是由多面體晶體層層包裹組成的。但是這個『向外等於向內』的觀念是相通的。Steiner也這樣講,要了解宇宙的真理,要向內部尋找。要了解內部的真理,可以向外觀察。

如果要從科學的觀點來看,就是說在人類的尺度上,規範這世界的物理定律是一樣的。你會在日月星辰上發現跟地球上相通的道理。月亮繞地球的原理,跟蘋果掉下來的原理是一樣的。小小葉子邊緣,跟整個樹葉成長的模式是相通的。這是碎形在講的,你拿放大鏡一看,還會發現小結構跟大結構是類似的。因為他們在這尺度下,遵循同樣的物理定律。  

2017年8月17日 星期四

謝謝你們,在時空的一隅找到我

2017的父親節寫的:

謝謝你們,在時空的角落找到我。

第一片蛋糕給媽媽,謝謝她,我才有機會當爸爸。
第二片蛋糕給姊姊,謝謝她,我真正地當爸爸。
第三片蛋糕給妹妹,謝謝她,讓我住在女生宿好幾年。
第四片蛋糕給弟弟,謝謝他,當男生來陪我。


謝謝你們,在時空的角落找到我。


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2014年的母親節這樣寫:


國中課本裡,選了詩人吳晟的新詩《負荷》,說父母像陀螺一樣轉啊轉,這是最沈重也最甜蜜的負荷。那時的國文,只注重解釋、題解、韻腳,對於『欣賞』也是用背誦的方式,叫學生們記下教師手冊的『文學賞析』。

(後來,機緣巧合接待過這位詩人花蓮一日遊。)

更後來,我有幸結婚,當了爸爸。
我大概能體會詩人在醫院等待新生兒的心情。爸爸只能在場邊加油,當母女(子)的啦啦隊。(也許以後也是啦啦隊!!)

不過,對我而言,小孩子是甜蜜的療癒天使。人生很少有機會,有人可以跟你全心全意毫無保留的對待。也很少有機會可以檢視自己。

謝謝你們喔~ 我的小朋友們。







《西遊記的啟示》-向後輩學習的勇氣

西遊記常常被說成是神魔小說,一般都說自由自在的孫悟空被緊箍咒給束縛了。

孫悟空是何等人物,會法術、變身、還有火眼睛金、筋斗雲、還拿金箍棒這等厲害武器。本領高強,可以在天界與眾仙鬥法鬥力,要不是如來佛出手,他幾乎拿下玉帝寶座。

在遇見唐三藏之前,他都活了快一千年,而唐三藏那時只是個二十幾歲的年輕和尚,說佛法也不是當世得道高僧。照輩份,孫悟空是前輩,唐三藏是晚輩,而且是很後生後生的晚輩。

孫悟空雖然說是被迫拜了那個小和尚做師父,一路上他有很多機會像那些妖怪一樣,直接吃了唐僧補足功力,再向天庭挑戰。可是他沒有。他一路上應該有懷疑過這個小和尚能教他這個千年猴仙嗎?即使半信半疑,他還是跟了小和尚去印度取經。

以他千年功力,卻拜這小和尚為師父,這是何等勇氣啊!

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1. 現在很多自認為功成名就、學問深厚的前輩們,動不動就要罵年輕人如何如何。

2. 功力本領沒有孫悟空高強,卻自比為唐僧者多矣。

3. 愛用《西遊記》當教材的老師們,我們要看到這一點,而且要學習孫悟空的勇氣,向小孩子學習。





2017年8月5日 星期六

《人智醫學的音樂治療》-聲音的地球脈動


最初,各地有各自的音樂,發展各自的音階。有趣的是,大家的音階都很接近,都是以128 Hz的Do、432Hz的La這個系列。這表示人類的耳朵、音感有其共通性,而最可能的來源是地球的脈動。音樂是人類呼吸的延伸,而呼吸是來自宇宙的脈動。這組音階有了自然的意義。

人類的呼吸平均每分鐘18次,一天就18x60x24=25920,這剛好是柏拉圖宇宙年的數字。所謂柏拉圖宇宙年,來自於地球自轉軸的precession,地軸對出去的天球北極會移動,每年春分點的太陽星座會偏移個幾度。從有占星術以來,春分的星座已經從白羊座移經雙魚座,現在到了水瓶座。所謂水瓶座世紀,指得就是我們接下來兩千多年春分時候的太陽星座。這樣一直移動下去,過了大約25920年之後,又會回到白羊座,整個星圖又重來一遍。這是地球的宇宙大週期,柏拉圖的宇宙年。剛好,跟我們一天呼吸的次數一樣。

這樣說來,呼吸的次數跟地球在宇宙的脈動有關係。這個關係,也使得人為的時間長度-秒,有了自然的意義。當然,秒也跟我們的脈搏很接近。時間的單位有了自然意義,每秒鐘震盪的次數-頻率,也有了自然的意義。一秒鐘震盪一次叫1 Hz,一秒震盪兩次就是2 Hz,按照音樂的原理,2 Hz 是比1 Hz高了八度,如果用弦長表示的話,2 Hz的弦長是1 Hz的一半。如此二分之一下去,第三次就會遇到8 Hz,這是地球的脈動頻率。接著再二分之一下去幾次,就會遇到128 Hz,這是音階裡面的C (Do)。如果C定在128 Hz*,A (La)就會在432 Hz。換句話說,432 Hz是跟地球脈動有關的。

各地的樂團可能會合奏,或是鋼琴家受邀到另一地方的交響樂團共同演出。這時候,各個音階就有共同頻率的必要了。在1939年時,世界各國開了個會議決定以440 Hz為La,當時與會的不全然是音樂家。同時間,也有兩萬多個音樂家連署反對,可是反對無效。La 就成了440 Hz,其他音階就根據這個440 Hz而調整,當然整組音階會比以432 Hz為La的要高一些,Do也不會在128 Hz,而是在130附近的非整數。

那麼,這兩組音階有什麼差別呢?

Laura老師,就用里拉琴彈了這兩組音階,以同一樂曲個別彈了兩次。曲調很簡單,分別都很和諧,仔細聽,其實是有差別的。我出現的畫面是這樣的,兩首曲子聽起來都像是小船在海上漂啊漂,海浪很柔和、風也徐徐輕吹,天色微亮,小小彩雲幾片。不過,有一首聽起來是晨光中出海,船頭航向升起的太陽。另一首聽起來是傍晚在餘暉中回家。後來才知道前面是440 Hz這曲子,後面是432 Hz的曲子。440 Hz聽起來是發散的、放射的、高昂的;432 Hz聽起來是沈穩的、收斂的。

靜靜的時候,不需要音樂家的音感,我們都聽得出來。

附帶一提的是,Laura老師一直強調 Qualität & WIE,就是品質,還有如何去做。音樂治療不像食譜配方一樣,不是什麼症頭就吃什麼要那樣,而是在治療師與患者互動中,找到可以治療的音樂處方。至於要選 432 Hz與440 Hz,甚至現在還要訂得更高的音階。那就看你要為聽眾帶來什麼樣的品質,你希望他們出航、出發、振奮精神,那就走高亢路線。你希望他們回歸、沉靜,那就低調一些。

接下來,我想聽聽那個地球脈動的 8 Hz聲音,這在人類聽力之外,聽起來是一連串的聲音。可是,那是敲擊聲、海浪聲、蟲叫聲、還是什麼聲音呢?現代人都聽不出來嗎?

*跟432 Hz La一起的Do應該是256 Hz,這樣高音Do是 512 Hz,比La 還高一些。

延伸閱讀音樂、呼吸、占星術 男女的情緒差異





2017年8月4日 星期五

《人智醫學筆記》-以太體


生命不能用元素的角度來看,也不能以分子的層次來看。一堆生化分子,也組成不了生命。

生命要按照一定的程序發展,才能對抗自然定律裡的熱力學第二定律-封閉系統總是趨向亂的方向演化。那個使生物分子趨向有秩序的力量是什麼呢?如量子力學大師薛丁格,也只能講出生物是吃『負熵』食物,排出高熵的便便來維持本身內部的低熵狀態、維持生物分子的有序。大約半世紀後的Prigogine,向前一步,知道系統可以藉由能量的進出,降低熵的增加。可是整個生物的謎團-那股力量究竟是什麼?科學家也弄不清楚。雖然說生命遵守著物理(化學)定律,可是怎麼由這些定律產生生命,科學家並不清楚,不然人類早就可以人工合成生命了。


那麼,我們怎麼稱呼那維持生命的力量呢?人智學把這股力量稱為『以太』,所謂etheric forces,表現在流動的血液、循環的體液、呼吸來回的空氣。那些流動的、生命過程的,就稱為etheric body。是生長的力量、形塑的力量。像是胚胎發育:從受精卵、細胞分裂、胚層、分化器官、萎縮。用分子層次的角度來看,就是基因的開啟、關閉、蛋白質的製造、運輸等等。簡單地說,人類觀察到生命孕育的過程,可是,只有少數的胚胎可以離開母體發育。即使科學發達的今天,哺乳類還需要真正的子宮來孕育下一代。

因此,生命除了物質之外,還存在著生命力。這股力量,當然不同於物理學上的『力』,讓生命物質展現了諸多生命現象,像是呼吸、代謝、成長、繁殖等等。這些生命力,總稱為以太力。植物有、動物也有。以太由生命開始,生命結束了,以太體也離開了物質體。生命物質再度回到無生命的狀態。


2017年8月2日 星期三

《呼吸的占星術》



唱歌跟說話一樣,來自於呼與吸。這兩個看似互補或相反的動作,實際上有不同的領受。有些人喜歡吸氣,有些人喜歡呼氣。

真的嗎?


試著觀察自己呼吸的停頓點。呼與吸之間會有停頓的轉折點。喜歡呼氣的人,在呼完氣之後,會停頓得比吸完氣那時久一些。換句話說,像是排出肺部空氣之後,享受一下排出的感覺。喜歡吸氣的人則相反,吸完氣之後的停頓,會比呼完氣那時久一些,因為他喜歡吸滿氣的感覺。

這跟出生時的太陽與月亮的距離有關。

地球繞行太陽的軌道,是橢圓形的,有近日點與遠日點。北半球冬天時,地球是比較接近太陽的;夏天則離太陽比較遠些。月亮則跟朔望有關,也就是初一十五不一樣。

舉例來說,冬至左右的十五中午出生的人,他在近日點附近的白天出生,太陽又剛好在天空上方,那時地球與太陽最接近。十五的月亮在太陽與地球的連線之外,他又白天出生,月亮剛好在另一面,距離月球最遠。因此,他出生時太陽最近、月亮最遠。這是『太陽型』的小孩。

夏日十五半夜出生的小孩,出生在遠日點、月亮在正上方、太陽在背面。那就是『月亮型』的小孩。

太陽型的小孩是愛呼氣的,喜歡安靜,早睡早起。工作完之後需要休息,喜歡左側睡。喜歡喝咖啡的提神方式。

月亮型的小孩是愛吸氣的,喜歡動態,晚睡晚起夜貓型。工作完後會用運動來恢復疲勞,喜歡右側睡或平躺。




我嗎?

我是朔月之冬夜出生的小孩,月亮在地球背面、近日點(但是太陽也在背面)。比較是太陽型的人。我也早睡早起(隨著年紀當然也是)。我有仔細觀察自己的呼吸。呼完氣之後,停留的比吸氣後久一些。那就。。。。

喝咖啡吧!!

《人智醫學筆記》-物質體


生物體都有物質的部分,而且為生物所用的物質跟體外的物質有很大的差異。簡單地講,同樣是碳氫氧氮,在生物體內的碳氫氧氮是有機物,生物體之外的碳氫氧氮就是氣體跟鑽石(也可能是石墨)。不能只用成份,來看待生命。

試著想想有個『分析師』把微生物攪爛打碎做成份分析,得到各種氨基酸、糖、澱粉、脂肪、還有一堆弄不清楚的『其他』。然後說『奇怪?這些東西加起來,怎麼會有發酵的功能、還可以一直傳下去呢?』



科幻一點,有個超大的外星家族,老大把火星整顆吞進去,接著分析報告出來說『氧、矽、鐵等等,還有其他少量元素』。老么把地球吞進去,分析出來也是『氧、矽、鐵等等,還有其他少量元素』。老爹就問了,你們分析得正確嗎?

那個地球看起是藍色的、火星看起來是紅色的,怎麼成分差不多?再去另外一個星系做看看!

做為生命的物質,不能用元素的觀點來看。他們不再只是碳氫氧碳。

那麼用分子的觀點呢?

脂肪、澱粉、氨基酸再加點DNA,也成不了生物。這跟燒菜一樣,同樣的食材,整鍋丟一起煮,能不能出現美味就要看運氣了。

生命由物質組成,但是不能只用成份的觀點來看待。


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PS. 這也是我對同類療法製劑、BD製劑、甘斯等等的批評採取保留態度的主要原因。前兩者用成份分析,根本就是水,怎麼會有水以外的效用呢?甘斯就是氧化物,怎麼功效說得那麼神奇呢?或許他們的效用是來自成分以外。