Paradox of "Try One More Time"

Can we buy more tickets to get more chances of winning the lottery? 

The host can design a game with a probability of p and an award of R.
Assume that N players will come. The ticket for each is T. How much should T be?

There is a cost for each game, C. 


NT - NpR - C > 0


Thus, the host can expect the income N(T-pR)-C.

T must be larger than C/N+pR, T > C/N+pR, otherwise the host loses money anyway.

For a player, one will be attracted if R > T and be very attracted to buy a ticket if R is much larger than T, R >> T.

When N is large and very large, the outcome will be close to the expected value, N(T-pR)-C. The more N, the closer the outcome. The host can obtain the expected outcome when N is large. 

What is the expected outcome for the player?

Suppose that he buy n tickets. 

He spends nT and expects to gain npR. The net gain is expected to be npR-nT or n(pR-T).

Note that, T is larger than pR, that n(pR-T) is negative. The net expected gain is negative for the player, n(pR-T) < 0. In other words, the outcome is expected to close to this negative value when the player buys more tickets.

For the host, he tries all efforts to attract more players, makes N large. 

He knows that there must be some player who gets the award. However, he does not care who this lucky person is because his expected income is N(T-pR)-C.  

The lucky one might be he, she, or YOU. Yes, it might be YOU.

If you think this way, you are trapped in "over-weighting of the rare event".   

《父女對話》－信心的測量

今天的老爹開講時段，我說，我們上次講到，選骰子遊戲還是銅板遊戲，獎品是確定的，機率是確定的，我們就可以用這方法來比較獎品在你心目中的價值。如果現在獎品是有數字的金錢，那還可以來測量你自己的信心喔～～

啊？怎麼測啊？

你看喔～～兩個遊戲給你選，一個是把彈珠丟到那個碗裡，丟進去就給1000元，另一個是銅板遊戲，丟出正面就給10元。銅板遊戲每次大概就是賺五塊錢，1000除以200也是五。如果你對你的丟彈珠有信心，每200次一定可以丟進超過1次，那就可以選丟彈珠。如果你沒什麼信心，大概200次也中不到一次，那你就要選丟銅板。對吧？

弟弟搶著說，當然丟彈珠啊！那個碗那麼近，不用說兩百次，兩次就可以中一次。

那你看喔～～投籃好了。投進去給100元，另外還是銅板遊戲，正面給10元。如果你有把握十次之內可以投進兩次，那你就選。。。？

選投籃啊！

如果，對自己技術沒什麼信心，可能都不會進，那就乖乖選銅板遊戲。

對喔～～

你看，獎項都是很清楚的數字，一個像是丟銅板那樣，機率很清楚，另一個是某種技藝。我們就可以用這樣的方式，來測量你對某種技藝的信心。對吧？

嗯。

但是喔～～有個地方要注意，人遇到100%，不用什麼銅板遊戲，保證中獎的時候，你就要注意。遇到100%保證有獎的時候，我們的腦袋就會暫停，然後就被那個保證有獎給吸引過去了。很多行銷策略就這樣用，買一送一免抽獎，我們就忽然間忘記計算。這要小心喔～～



PS. 這小孩還在抱的時候，好幾次半夜睡不著，我帶他到餐桌前讀Ramsey的 The foundation of Mathematics，看她會不會就睡著了，答案是不會，愈聽愈起勁。Ramsey 有另一種測量信心的方式，如果你問路，有人告訴你這樣走那樣走，你邊走還邊問，問愈多，表示你對那個答案愈沒有信心，大概是依照這樣的精神去量測。

《父女對話》－其實你沒有那麼喜歡它

老爹，你在寫什麼？

我在寫那個《其實你沒有那麼喜歡它》的，給大學生的選擇題。

啊？喔？怎麼選啊？

你看喔～～給你選遊戲，玩骰子遊戲還是銅板遊戲。骰子就是六分之一的中獎機會，銅板就是二分之一中獎機會。

嗯。

如果A 骰子遊戲中獎獎金是10元，那麼期望值就是你玩很久每次大概就是得到六分之十元，一又六分之四元。玩B銅板遊戲的獎金是6元，那麼你玩下去每次大概可以得到二分之六元，就是三塊錢。三比剛剛那個一又六分之四大，所以要選B。

喔～～這就是期望值。要選大的。

好啦～～按此要領。如果骰子遊戲的獎品是泡泡水，銅板遊戲的獎品是小糖果。那要怎麼比？就是六分之泡泡水的價值跟二分之小糖果來比。對吧？如果你選泡泡水，表示六分之泡泡水的價值比二分之小糖果還要大。（看著右上方）就是一瓶泡泡水大過三顆糖果，你就要選泡泡水。如果一瓶泡泡水小於三顆糖果，你就要。。。

這時候要選糖果啊～在旁邊玩的弟弟插話了，如果超喜歡那顆糖果的話，就要選糖果啊！

沒錯沒錯。你看喔～獎品是數字的錢可以比較，即使不是數字的泡泡水跟糖果，也可以用選擇遊戲來比較。除非你亂選，如果你認真選，選那個很難中的遊戲，表示你很喜歡那個獎品，那個獎品在你心目中更有價值。

喔～～就是這樣子喔～那跟其實什麼的有什麼關係？

我在改那個作業啊～～有幾個大學生，他自己列表分析之後，A的期望值就比B大，可是他選B，然後補一大堆理由說這樣那樣然後選B。這表示他一開始列表就高估A的價值，或是低估了B的價值。就像是說泡泡水有多好多好，結果卻選糖果一樣。其實就是比較喜歡糖果，泡泡水比較好只是嘴巴講講而已。

了解。

要看實際的行動，嘴巴講的那些隨便聽聽就算了。

其實你沒有那麼喜歡它

在有風險的情況下做選擇，有幾個方法可以幫助你釐清該怎麼選。所謂的風險情況，就是選項的機率很清楚，至少是有根據的。最簡單的方式，就是選那個期望值大的選項。


A: 80% 的機率(0.8) 獲得 5000元，20%的機率(0.2) 獲得2000元。

B: 20% 的機率(0.2) 獲得10000元，80%的機率(0.8) 槓龜。


選A的期望值是 0.8 x 5000 + 0.2 x 2000 = 4400
選B的期望值是 0.2 x 10000 + 0.8 x 0 = 2000

如果你是求獲利高的人，這時候應該選A。不是5000就是2000。多好！

可是，如果你現在需要8000元買東西。那選了A，雖然不是5000就是2000，可是都不足以讓你有錢買東西，只有選B，才有可能獲利10000元，讓你滿足需求。對此von Neumann 和 Morgenstern 提出期望效用理論Expected Utility Theory。簡單講，各個選項的『價值』不是用獲利，而是用『效用』Utility 來評估。

用效用來看的話：

選A的期望效用是 0.8 x 0 + 0.2 x 0 = 0
選B的期望效用是 0.2 x 1 + 0.8 x 0 = 0.2


選B的0.2 不多，但是比選A大，至少有機會獲得10000而滿足8000的需求。


那個效用數值是隨自己高興放的，你可以填入金錢，或是將滿足感、身心舒服度、金錢滿意度等等數值化，列完之後，選大的那個就對了。

於是，我們對大學生出了這樣一題，請他們應用這個理論，來幫助他們做選擇。

有人分析要不要退選、要不要參加系隊、念研究所還是就業、住宿舍還是外面租房子、暑假練開車還是乖乖讀書，各種選擇都有。大部分的學生都說，這樣分析有助於釐清他們的困惑，結果跟他們想的一樣，毫無懸念義無反顧，讓他們更有信心地選下去。

但是有幾個同學就不是這樣了，他們分析之後發現A的期望效用比B大，可是還是選B，然後講了一堆替選B找理由。

為什麼會這樣呢？
簡單講，就是他們高估了A的效用，或是低估了B的效用。

例如這位A同學：
打工0.77, 讀書 0.44, 玩社團 0.65, 滑手機0.65。應該要去打工才對。不過他檢討了半天，說是要讀書。

還有這位B同學

準備考試0.76 打電玩 0.31。這麼明顯的差別，自然是準備考試啊！
不過他還是去打電玩了。這表示，他在電玩選項的效用填太低了。

這表示什麼？他心有掛念的讀書，有更大的效用才對。

這位C同學，打工還是家教？

分析結果是家教62.5 打工45。應該要選家教啊！可是他的結論是選打工。

簡單講，他可能高估了家教的效用，或是低估了打工的效用。

我們常常會遇到人口是心非的時刻，他們選了A，卻說沒有啦～～我比較喜歡B。這樣的人是怎麼了？

他們認為『應該』要選B，選B有正當性，光明磊落，積極正面、、、可是行動上卻選A。
其實他們不敢開口說的是，其實他們喜歡A。只是A說起來沒有B好聽，有點黑暗、有點取巧、有點偷懶。


哲學家David Hume （休謨）用Believe 跟desire 來解釋，哥倫布向西航行去找印度的冒險行為，是因為他『相信』這是可行方案，而且他向西而行的『欲望』比留在原地的欲望還大。


照著Hume的說法，A的讀書欲望比打工大、B的打電玩欲望比準備考試大、C的打工欲望比家教大。各位同學，你們小看自己真正的欲望了。

這個簡單的表格讓你有機會自我分析你真正的欲望，所以，表格填完A比較大，可是你卻選B，這其實是說你其實沒有那麼喜歡A，所以別再口是心非了。