《G11 投影幾何第九講》 透視的深度

同學都畫過翻譯成透視法的 perspective drawing。問題到深度怎麼決定時，你看我我看你，就說不知道。只知道要集中在某一點。

我們知道越遠越小，高度可以這樣縮小、寬度也可以，但是深度呢？

好啦～～讓我們用投影幾何來告訴大家怎麼畫。

投影幾何繼承歐氏幾何的精神，沒有座標，尺規作圖。所有直線都會相交，平行線會交會在遠方一點，那些在遠方的點，也可以連成線。（看吧！猴子不喜歡歐氏幾何，他們超愛投影幾何，投影幾何一定有香蕉！）

來個九宮格。這組平行線交會在那裡、那組平行線交會在那裡，所謂的左右消失點，vanishing point R, L。還有平行線嗎？有的，對角線也是。於是，你就可以畫出在設計圖學上叫做二消法的透視圖。據說平面設計考照用得到喔～

《G11 投影幾何第八講》 你就是光

星星的光從幾百幾千幾萬光年之外，經過數百年數千數萬年進入你的眼睛。他們有近有遠，卻因為看起來在附近，而被連線成一個星座－用肉眼望去，他們之間只有視角的差異，沒有遠近。

一個起始點畫出三條線，如果把那起始點當光源，三條線上各自任意連線的三角形，像是形與影一樣，每個都是另外三角的影子。

讓你自己站在那光源位置，你只看到一個三角形，不管是形或影，在你看來他們都疊在一起。

在這裡我們看到新的對偶關係：

形與影－形即是影
光源與視角－收光即是發光

你接受光，你就是光。

《G11 投影幾何第七講》 Desargues' dual theorem

一點延伸出三條線、每線上面各畫兩點，每兩點在連線成兩個三角形，三角形三邊延伸線的三個交點會共線。

那根據對偶關係，會變什麼？

其實就是倒過來畫。

同學，你自己畫畫看，然後跳到三度空間來。起始點就是光源，兩個三角形互為影子。如果從光源往下看，實際上只看到一個三角形。這兩個三角形在兩個平面上，而這兩個平面，就像是摺頁一樣，那個折線，就是那條共線。

到這裡可以看到另一個對偶關係：光源即視角。
你望向遠方，光從遠方進入你的眼睛，你的眼睛也像是光芒照耀遠方一樣。這也是對偶關係。

《G11 投影幾何第六講》 Desargues 定理

Desargues 定理是說，畫兩個三角形 (ABC、A'B'C')，如果AA'、BB'、CC'三組連線共點，那麼AB－A'B'、BC－B'C'、CA－C'A' 三邊延長線的交會點GHI，會共線。

這裡又看到duality。

三組兩兩點的連線－共點
三組兩線的交會點－共線

平面看不懂，到更高維度去看。A'B'C' 是ABC的投影，共點P，就是光源。那共線就一清二楚了。

《典範的轉移》－ 科學與美學

大約在十六世紀中葉，哥白尼提出了日心說。在神聖羅馬帝國的克卜勒搭配了第谷的觀察紀錄，發展了行星的運動定律。而這定律，就是以太陽為中心，行星以橢圓形軌道繞行太陽。大約在同個時期，在羅馬教皇轄領地的伽利略由他自己的觀察－金星有盈虧、木星有衛星，指出地心說的錯誤。當時的新教或羅馬教會，他們都是支持地心說的，羅馬教區的伽利略被宗教審判，遭軟禁之外還要撤回他的學說。在新教教區的克卜勒運氣就好很多。

這裡有宇宙觀的轉移，宇宙中心從地球轉到太陽。應該也有美學的轉移。上帝是完美的，上帝

的創造之物也是美的。

以地心視角畫出的行星軌道，有五角對稱的金星，三角對稱的水星、忽近忽遠的火星，還有以圓形環繞但有盈虧的月球。把這幾個圖畫起來，就會出現有點複雜又有規律的對稱圖形，這就是那個時代的美。

用哥白尼日心說畫出的行星軌道像什麼？就是一圈又一圈的圓圈圈，仔細一點，就是一圈又一圈的橢圓形。哪個比較美？

簡單的問，你家要裝潢窗戶，你會用哪個？那個有規律又有點複雜的地心視角，還是一圈又一圈的太陽中心？（地心視角）如果你們系要做系徽，你會選哪個？
對啊～你不會想要畫一圈又一圈的吧？

那個簡單就是美、less is more. 是二十世紀初年的現代主義，沒多久之後又出現標榜多元、多樣、less is bore的後現代主義。

這不只是科學典範的轉移，也隱含美學典範的轉移。而後者的轉移需要更長的時間。科學是講證據，科學所延伸出來的科技講求有用，能改善人類生活的，就會大量傳開，你擋都擋不住。現代主義風格還是有，就是那些通常被稱為現代感的極簡風格。這些通常強調的是功能性，減少無功能的裝飾，在功能性之下再講求美。一支裝飾華麗花俏卻不好切的菜刀，還算是菜刀嗎？

方程式越簡潔越美。

如果計算完你回答 8，答對得十分。 那不約分寫256/32，老師會給幾分？這裡遵循簡單是美的原則。

在科學上，簡單是美，假設越少的理論，越接近真相。太陽系的中心是太陽而不是地球，行星以橢圓軌道繞行太陽。可是在美學上，你會欣賞一圈一圈橢圓，還是那如繁花般的軌道呢？

《Decision under risk》 起手式

在選擇理論裡面，risk是說選項的機率跟獲利都很清楚的選擇題。明顯的例子是沒作弊的賭場、誠實的樂透。夜市裡的彈珠台，他的獎品其實就反映著機率（的倒數）。一般生活裡的選擇問題裡，大部分的機率都是預估值、經驗值，或是隨便猜一猜，於是就有所謂賭徒謬誤錯估機率的現象。

von Neumann（有關電腦架構、賽局理論的那位天才科學家）他提出期望效用理論。想法很簡單，如果我們做選擇的時候，依循某種數值化方式，那麼這樣的選擇題－可以數值化處理的，就不會是什麼人生重要抉擇。基本上就可以交給電腦處理，除了讓人可以脫離這些雜事專注自我提升之外，還可以避免人為漏看算錯的那種低級錯誤。

不過，有些時候我們面對的選擇題，不是簡單的數學題時，怎麼辦呢？例如，有一家新的小吃店。他們主菜有鮟鱇魚跟漢堡，這是新的店家，沒有歷史評價可循。你又是看在首日客人打折的份上進去嘗試。這下怎麼辦呢？

於是你可以做個表，列出遇到好廚師跟廚藝普普的廚師，以及在這兩種廚師的手下，鮟鱇魚跟漢堡可能會出現的情形。一般而言，漢堡失敗率低，鮟鱇魚就不那麼簡單烹調了。接著，你可以把文字：好吃的鮟鱇魚、難吃的鮟鱇魚、好吃的漢堡等等，轉化為數值，這些食物在你心目中的評價。加上你對於遇見好廚師與普普廚師的預估機率。你就可以輕易算出該點哪一道菜了。

倒過來說，我們也可以根據你的選擇結果，反推你預估好廚師與普普廚師的機率。或是好吃的鮟鱇魚、難吃的鮟鱇魚、好吃的漢堡等等在你心目中的相對價值。
此乃 Decision under risk 的起手式。下禮拜會繼續玩選擇遊戲。你的選擇，透露出你的價值觀。。。

反思

佛陀在世的時候，大約在印度多雨有樹林的平原區，他悟道的菩提樹，在菩提迦耶那裡，那裡也是平地的樹林。耶穌在世活動的範圍，大約是現在的耶路撒冷一帶，那裡是丘陵地形，海拔七百多公尺。

他們悟道的地方，都不是在高山峻嶺。那為什麼有些人熱衷於到山林，而且是海拔兩千公尺以上的山林，去那裡靈性追尋，去那裡自我追尋呢？

自我，不就是跟著你嗎？為什麼要外求？而且要到那裡去求呢？