2022年4月19日 星期二

怨憎會、愛別離

圓錐曲線,就是一個平面切過雙頭圓錐所造成的各種曲線,包括點、直線、交叉兩線、拋物線、圓、橢圓、還有雙曲線。

你可以這樣畫:先有一點,然後向兩邊伸出兩直線,像大大的X那樣看起來是像交叉兩直線,接著立體旋轉,變成兩個對角的圓錐。

接著畫一個平面,橫切過你一開始的那一點。這是一個『點』。水平升降那個平面,與圓錐橫切的地方,看起來是個圓。上升下降,圓變大、變小,還可以縮成原來那個點。

那向上一些變成一個圓好了。接著斜放那個平面,現在切出橢圓,愈斜橢圓愈大。隨著平面愈斜,橢圓就愈大,平面斜到跟圓錐平行,這時切出來的是拋物線,你可以當成是一端沒有縮回來的橢圓。這時,你還是可以上下移動,拋物線開口變大變小,還可以回到原來那個點。

接著再將平面變斜,其實是變陡峭,離開原點。你會發現平面與上圓錐和下圓錐都能各切出一段弧線,這是雙曲線。移動平面接近原點,兩個雙曲線靠近,經過原點,他們變成對頂的三角形,或是大叉叉X,繼續移動平面,他們又分開了。

這些點、線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線,都是系出同門,都是移動或轉斜的平面跟圓錐切出來的形狀。他們有時靠近,有時遠離,變大變小、變彎變直,還可以回到原點。其實都是同一個來源,在不同的角度與距離變化而成。

佛陀說人生的八苦:生、老、病、死、怨憎會、愛別離、求不得、五陰炙盛。前面四個是生而為人的必經之路,後面四個討厭的人事物,總是會靠過來,喜愛的人事物,卻常常要跟我們分離。想要得求不到,然後外在有形無形的事物弄得我們思考行為與意識煩躁無法寧靜。

在平面弄不懂的,就往高維度地方走去,從那個視角看過來,可以看得更清楚。這世界像是在流動在圓錐上的平面,切出各種不同的形狀,有時相聚,有時遠離。所謂怨憎會、愛別離。從高維的角度來看,這是同樣的源頭,不同的變化而已。在流轉的時空裡,會者定離,去者必返。我們之所以感到痛苦,不是因為討厭的人事物特別找我們麻煩,而是我們特別抓住他們,即使他們都已經遠離,我們還念念不忘。我們喜歡的人事物也是,他們本來就像流動平面切出雙曲線那樣,我們相聚、變形、遠離。之所以痛苦,也是我們抓住不放。

時空流轉,應作如是觀。




2022年4月16日 星期六

關關雎鳩

來解答前天問的點兵問題。三三一數餘二、五五一數餘三、七七一數餘二。可以先把都餘二的三七並在一起,變成二十一餘二。然後就可以算出來了。這數字太小,看不出系統方法的威力,換一題比較大的79跟23好了(其實這數字是我抄來的)。先是
79除以23得3餘10,再是
23除以10得2餘3,再是
10除以3得3餘1。
餘一,就沒得除了。這以前叫做『求一術』我以前高中學的叫秦九韶求一術,其實就是輾轉相
除法。

接著翻回去,倒著用79跟23來湊成1。
1 = 10 - (3 x 3)
=10 - (3 x (23-2x10))
= 7 x 10 - 3 x 23
= 7 x (79 - 3 x 23) - 3 x 23
= 7 x 29 - 24 x 23

你們有聽過輾轉相除法嗎?(呆滯)

輾轉就是你除過來,我除過去。一來一回,系統性地除來除去。像我黑板上斜線畫的那樣。不用天外飛來一條輔助線,不用機巧,老老實實地照這步驟做,答案就在那裡等你。很繁瑣,不複雜,但是要有耐心。這跟另外的輾轉一樣啊!

老師,哪裡的輾轉?

詩經啊!各位!詩經裡面有輾轉啊~~(茫茫然)
關關雎鳩,在河之洲。窈窕淑女,君子好逑。
老師,是好(ㄏ ㄠˋ)逑。

No No no,那個字念三聲好。說淑女是君子的好對象。這還告訴你,一個女生只能追兩次。
??
第三次就三好球,掰掰,三振出局啦~~回來。重點是更後面一句:悠哉悠哉,輾轉反側。就是想人家半天,睡不著,天怎麼還不亮。悠是長的意思,你就翻來覆去睡不著。那怎麼辦?

睡不著就做數學啊!純粹的思考,有助於睡眠。不是情緒的想他想她,轉來轉去睡不著。是純粹數學的思考,你很快就睡著了。




機巧與耐心

我們講到幾何的語言、幾何的圖形、代數符號、還有代數的運算。幾何的語言,就是用圖形的方式來講數學關係,像是用面積或長度。《啟蒙的符號》裡面也有這樣的例子,在符號還沒發明之前,要說明一個等式,需要落落長的敘述,而且讀者可能還不懂。不過,畫出圖形,一目瞭然。代數的符號,讓整個敘述變簡單了,簡單到不懂印度文,你也看得懂印度發明的數字;只要懂字母,你就看得懂等式。舉個例子,這從某網友那邊取來的。

幾何的方法,需要一點機巧。你看出這個正方形的x可以相接,左下角的正方形可以拿掉,然後兩個三角形一折,合成一個大三角形。Bingo! 看得出這裡的,需要一點機巧,靈機一動,圖形剪剪貼貼,答案就出來了。

代數的方法,就是用相似三角形,把a跟b都換成x,然後利用畢氏定理,解出x平方,算出答案。老老實實、清清楚楚地列出數學式,一個一個消去,一個一個代入,然後解出答案。這不需要機巧,這需要耐心。有系統、有固定的方法,一步一步解出答案。誰最有耐心?電腦。電腦不會累,也不會抱怨。

我們可以搭配好懂的圖形,簡明的代數符號。老老實實地算下去,過程有點繁雜或煩雜,但是答案就在那裡等你。






我不會強調機巧的摺紙很聰明很厲害,也不會讚揚代數的解法。這兩種都得到答案。不過,耐心地慢慢解,除了答案30之外,你還可以得到a, b, and x三個未知數的大小,不是只有目標函數的三角形面積而已。

2022年4月7日 星期四

【問】經驗與概念

古代的人認為是天圓地方,地是平的。大約在兩千年前,開始接受地不是平的,地是球形的。又過了約一千五百年,才開始認識到地球不是宇宙中心。現在我們都知道,地球繞著太陽轉,太陽是銀河系某個旁邊的恆星,銀河也是眾多星系之一。

這是人類對世界認識的演進歷程。我們教小孩的時候,是把前面那些當作是『曾經有人這樣。。。』的故事帶過。並沒有真的讓孩子認為地球是平的,等到國中高中的某個時間,再教孩子地球是球形。我們也沒有先教孩子地球是宇宙中心,然後到某個年齡才說,不是喔~~地球是繞著太陽轉。

即使經驗上,我們從來沒離開過地球(當然有少數幾位太空人啦~~),以地球為宇宙中心來看日月星辰,對日常生活並沒有太多妨礙。在教育上,我們就直接用最新的宇宙圖像來教孩子。不會照著人類對宇宙認識的歷程,不會從天圓地方、地球中心、太陽中心等等的順序來教小孩。

可是,在時空觀念上,即使相對論已經是百年前的產物。我們還是從距離、時間,這兩者求出速度的方式來教學。到了高中或大學的某個時候才學到說,不是喔~~光速才是那個不變量。時間定自於某原子的振動,距離是這兩者相乘而來的。為什麼還是先用絕對時間的方式來教孩子呢?

好啦~~相對論不好懂。不好懂的原因,會不會是因為從小就教絕對時間,到了接觸到相對論時,要花費好一段時間,才勉強接受相對時空的觀念呢?如果從小就接觸相對時空,學相對論的時候是不是很快就進入狀況了呢?

另外一個例子是原子的觀念。這觀念比相對時空觀念更早,證實原子存在也超過百年。在教學上,我們不是先講物質有最小的組成單位,像積木(或磚塊)那樣組合起來的。為什麼不一開始就用積木的概念來講物質呢?看不見原子,日常生活經驗不到原子,所以先不這樣教。可是,日常生活也經驗到地球是宇宙中心,我們還是說,古人曾經那樣認為,現在人不這樣想了。這也是經驗之外的概念之上。

先經驗再概念,好像是這樣。可是,從小講故事聽故事,也是聽別人的經歷,我們自身不一定有那樣的經歷,訴諸的是同理心、訴諸的是相信。沒看過聖誕老人,也相信聖誕老人會帶來禮物。那為什麼沒看過原子,不能相信原子建構這些物質呢?