《大人的陶藝課》－孟加拉美學

孟加拉的國旗，就是紅色太陽照耀綠色大地。
這在《配色》這篇解釋過了。

我也在陶器杯上，實現這個孟加拉美學。

橘紅色太陽照耀綠色山巒，加上透明藍釉彩作為天空。
釉燒完之後，變成暈染山水。
由斜陽大地變成幽玄的薄明之森。

《大人的陶藝課》－時機

彈性 elasticity，就如彈簧一樣，指的是變形之後，還能恢復原狀的性質。塑性 plasticity，如同泥塑一樣，指的是變形之後，就維持在那個形狀的性質。大部分的物體，都兼具這兩種性質，彈簧用久了還是會彈性疲乏，少了彈性，多了塑性。濕濕的泥土，容易塑形，完全乾了，就定型了，沒了塑性也沒了彈性。

泥塑的時候，我們希望手中的泥土，就照我們的意思形塑，因此，直覺地認為，要在泥土塑性最高的時後，趕快捏出我們想要的樣子，然後等著慢慢乾燥，再進行素燒定型。也因此，會在捏不出想要的形狀時，加水、再捏、加水、再捏，以為在泥土最軟的時候，就更能形塑出我們想要的形狀。

其實這是個錯覺！

老師說，土太濕的時候，我們要等著泥土乾一點的時候再來形塑。
很濕很軟，很好捏，但是卻捏不出我們要的樣子，最後水分過多，就變成不成形的泥漿了。啊～～原來如此，要等泥土再乾一些。怕土乾掉，一直加水，土塊變軟，最後卻不成形。這完全時想當然耳的錯誤想像。

最軟、最容易變形的時候，卻不是最好形塑的時機。

老師說，像這種時候，她就會再捏其他作品，等這塊乾一點的時候，再回頭看看能做什麼。所以，在泥塑課的時候，會幾個作品一起進行。
素燒前和

最後的成品。

幽玄

花若盛開 蝴蝶自來
。。。。

蚜蟲螞蟻也會來

不只有那些亮麗鮮明的花與蝴蝶，我也注意到那些隱藏擬態的蟲子。

靜謐

有些細節，只有在靜下來才會發現。

疫情的關係，少有人走動。帶著兒子，開車四處遊走，看到沒人的地方才下車。算是另外一種『Window Shopping』。

這回到那個通往愛情幸福的合興車站。

車廂Cafe裡有店員在整理。隔著門，我說，應該是沒有營業專程來整理商店的吧？

對啊！這些花花草草也要有人整理。

看著沒有在用的鐵道、下盤破損的車廂、雨傘。

腦中忽然蹦出這樣的聲音：

物體以他自身的速度老去。

沒有刻意保養，也沒有刻意毀棄，隨著時間因緣合聚，也隨著時間因緣散去。
車廂、鐵道、繁花、落葉，這車站講的愛情或許也是。

沒多久之後，兩節的火車進站了，車上連駕駛有三人。

車站裡，兒子跟我，還有店員，也是三人。

後來我才知道，在物體老去的過程中，欣賞每一刻的美。含苞是美、花開是美、花落也是美。這樣像是日本美學裡的物哀—時間有限的美，以及美的消逝。

豆腐幾何學

這是學人家教會的禮拜或是彌撒，牧師或神父在佈道的結束時候，會開紅酒（有的自己喝），然後會切起麵包當作聖體分享給信眾。有次跟著羅馬尼亞的朋友去東正教禮拜，他們是神父信徒一起喝酒吃麵包。我懂了，這叫做精神滿足之後，也要身體的滿足。

在那個愛吃的青少年班級，我嘗試用這種方式來帶立體幾何。

很多媽媽教室的初級課程，是手工豆腐。從黃豆浸泡、打漿、邊煮邊攪，下滷鹽，濾出水後壓製成塊狀的豆腐。

豆腐有營養，是手工料理的初級材料。其實，也是很好的立體幾何教材喔！


話說書上這樣寫，正六面體截去四個角，中間會留下一個正四面體，四個截下的直角三角錐反接回來，會形成一個四角錐的金字塔。正六面體就是金字塔與正四面體的組合，或是倒過來說，金字塔與正四面體可以組合成一個正六面體。

今天早上到新埔街上的百年豆腐店，才八點半，就只剩最後的五塊白豆乾。我們就用這豆乾，來驗證書上的說法。

然後就是去廚房要醬油，大家沾著醬油吃起白豆乾來了。

一花一世界

一花一世界。。。

歡迎來到『多重宇宙』。。。

指南日影鐘

辨認北方有個鐘錶法，就是在時鐘的中央立起一根直桿，旋轉鐘面，讓桿影落在時針與12點鐘的中間，這時候12點鐘的方向就是北方，如左圖（註釋1)。

這裡有三個要素：日影、時針、北方。知道兩個，就可以得到第三個。在這裡，知道日影、時針，於是就能知道北方的方位。


如果知道日影、北方，是不是也可以推得時針的方位呢？有了時針，不就可以知道時間了嗎？因此，晴天的時候，可以用指南針來當時鐘了！

一樣的道理，在指南針的中央立起一根直桿，看日影與北方的夾角幾度，再以這角度向外畫出一跟虛擬的時針。也就是讓日影落在北方與虛擬的時針之間。這時候北方就是12點，東方是3點，南方是6點，看看虛擬的時針落在哪個位置。如右圖舉例，虛擬的時針落在二跟三之間，於是猜測是 2: 40。

至於其他時間，我還沒去想。不過這方法可行。下次對錶的時候，可以拿出指南針喔！

還有，用時鐘跟指南針，來猜測太陽的位置，也一樣可行！

註釋1：也有敘述成將時針對正落影，時針與12點中的角平分線就是北方。這兩種說法是一樣的。

免插電、免電池，可是要知道太陽的方位。。。。。

繁花四月

綠花盛開無人問，紅花凋謝有人憐。

在人類的眼光裡，似乎只有鮮豔的花朵才值得歌頌。

春天開的花很多。苦楝、櫻花、杜鵑、木棉之外，其實，顏色較淡花朵較小的龍眼、樟腦樹也開花了。

繁花盛開的季節，只有色盲的我，才看得見你的美。

孩子們懂

這是momo四歲多時，在她簿子上畫的圖。我還記得她畫的時候，大約在四五個月前吧！我在旁邊，就讓她自己發揮得夠。因為在這之前，她的畫看起來就是這樣子。有時候問她，她會說這是猴子、那是兔子。

今天下午，還不到兩歲的dodo，偶然看到了這張，手中拿著還沒削的鉛筆，唱著 let it go, let it go。邊唱、邊揮舞著鉛筆跳舞。


我就問momo，妳那紙上畫的是什麼啊？

她說：那是愛紗的魔法啊！我是畫她在山上變冰雪時候的魔法。

唉唷～～果然小孩子之間看得懂。這是愛紗的冰雪魔法！

原寫於2014年9月27日。

Circle of Fifths 數字的六角形

從前一篇，知道了這個圈圈是怎麼用+7法則產生的，十二音是怎麼排上去的。接下來，這個圈圈上面的數字（其實是音階）有什麼關聯呢？

奇偶六角形

由0點鐘方向的C出發，與隔一點的D連線，再隔一點連接E，然後是Gb, Eb, Bb，最後又回到C。這可以畫出一個六角形，他們的數字剛好是1-3-5-7-9-11。同樣的方式，由7點鐘方向的Db出發，與隔一點的Eb連線，再隔一點連接F，然後是G, A, B，最後又回到Db，他們的數字剛好是2-4-6-8-10-12。用十二音來看，一個是奇數六角，一個是偶數六角。這是因為用+7法則產生的結果。

我沒有用音樂來聽看看這奇偶六角形，聽起來會是什麼樣子。這裏純粹是看數字的關係。

還有，在圈圈上的對角方向，數字是差6。

立體的Circle of Fifths

接下來是問題的所在，有人把平面的圈圈立體化了。問題是，平面就可以幫助作曲者找調，加#升記號或b降記號，畫成立體可以多看到什麼嗎？

這立體不是正多面體，而是有三角形跟四角形組成。或者說，你用六個四角形，上面三個，下面三個搭起一個立體形狀，把三角形當成空的。或者是把四角形當成空的，用八個三角形來搭起一個立體形狀。我是比較偏向後者，不要管四角形的部分。

於是，你會發現這裡面有八個三角形，分別是頂的CGD、底的DbGbAb、上面的DAE, GEbB, CFBb，還有下面的EBGb, BbEbAb, AFDb。我們把數字標上去，他們分別是1-8-3(CGD), 2-7-9(DbGbAb), 3-10-5(DAE), 8-4-12(GEbB), 1-6-11(CFBb),5-12-7 (EBGb), 11-4-9(BbEbAb), 10-6-2(AFDb)。

藍色字的三角形，『邊長』（就是數字相減）是2-5-7，那這2-5-7是什麼意思呢？我猜～～

2是相鄰的全音。
5：2-2-1，就是12音階的第一段。
7：2-2-2-1，就是12音階的第二段。

聽起來怎麼樣，就要實際演奏看看。

 至於那個不是2-5-7的兩個三角形，從我們這角度看過去，8-4-12(GEbB)和10-6-2(AFDb)，就是偶數六角形。其他外圈的六個，就是奇數六角形。

六角形之半音三角 

橫著還可以連出三個六角形，分別是AEBEbBbF、CGBGbDbF、還有DADbAbEbG，改成數字分別就是10-5-12-4-11-6、1-8-12-7-2-6、還有3-10-2-9-4-8，這三個六角形，分別可拆成兩組相鄰的三角形(或說是半音三角形）：

10-5-12-4-11-6 ： 10-12-11 + 5-4-6

1-8-12-7-2-6：1-12-2 + 8-7-6  （因為是循環，12 = -1）

3-10-2-9-4-8：3-2-4 + 10-9-8

當然，這跟原來幫助作曲、找key、加升降記號的功能都不一樣了。這已經是數字遊戲了。

不過，有樂器的人，還是可以沿著這些三角形、六角形，試著演奏一下，來來回回重複聽看看。

最後兩個問題：

那個中心是什麼？
神有靜止在自己的內在嗎？

既然音階代表的頻率是等比數列，那麼，中心應該是所謂幾何平均數，就是兩端相乘開根號。實際乘看看，並不是。兩端數字相減差六，就是有一端要乘2^(1/12)六次會跑到另一端去。中心，是不是乘以2^(1/12)三次，也就是2^(1/4)呢？好像也不是。

這件事，就請音樂家、數字迷來猜想吧～～

Circle of Fifths 外行人的數學解釋

音樂老師問我，Circle of Fifths的立體圖像，跟上一篇的多面體有關係嗎？

應該是有關的，因為都是重複性出現的結構，具有神靜止在自身之中的形象。

我不知道這Circle of Fifths中文怎麼翻，意思是說，你把十二音階，鋼琴鍵上的黑白鍵都算進去，一輪是十二個。以五來數，可以排出一個圈圈。這可以幫助了解樂曲的大調小調，選了這個調，會有幾個升記號或幾個降記號。原來從Do開始的七音，不用升記號。其他音開始的，加了升（或降）記號後，也可以找到聽起來才和諧的七音。

我找了一些資料後，發現這個Circle of Fifths，用Circle of Sevenths比較不會造成（像我這種沒音樂底子人的）誤解。當然啦！5+7 =12 用五跟七數法不同，道理是相通的。

音階的等比關係

要講Circle of Fifths，就先從音階講起。在人類耳朵的尺度裡，隨著音階頻率的升高（或是弦的變短），我們又可以聽到一樣和諧但是高一點的一組音階。隨著音階頻率的減低，一樣以可以聽到低一點，但是也和諧的另一組音階。高音的Do頻率是低音Do的兩倍，當然高音La的頻率也是低音La的兩倍。如此，將鍵盤上的黑白鍵全部算進去，一組八度音，有十二個鍵盤。先放棄八度音的8，用十二鍵盤的十二階來想，Do的頻率要乘以某個數12次之後，就到達高音Do，頻率變成兩倍。換言之，相鄰兩鍵之間的頻率相比，比值是2的12次根號，或說2^(1/12)。二的十二分之一次方。

 如果用同樣材質，拉同樣的鬆緊度。弦長就跟彈出來的聲音頻率成反比。也就是頻率越高弦越短，頻率越低弦越長。把這些弦由發出的聲音頻率，由低往高排，就會像圖畫的那樣。弦越長聲音越低，最後就超過人耳可聽的範圍，變成不連續的聲音。弦越短聲音越高，最後也超過人耳可聽的範圍。

因為音階之間的頻率，是倍比關係，所以這曲線是像指數上升的曲度。

然後，我們也會發現內在的相似。隨著弦等比變短，聲音越高。接著弦變成一半長，聲音高了八度。重複的結構再度出現，弦繼續等比變短，聲音越高。接著弦再變成一半長，聲音又高了八度。

神靜止在自身之內。

十二音階

再來我們看看這12音階，由Do到高音Do之間，分成12階，每階的聲音頻率，高了前面講的2^(1/12)倍。這就是所謂的『半音』。

如圖I 所示，把黑鍵也算進去，重新編號。這裏黑鍵的符號是要用Db，還是#C，這兩個音是不一樣的，但是為了方便簡化，我全部用b降記號來表示。重新編號之後，1=C, 2=Db, 3=D, 4=Eb, 5=E, 6=F, 7=Gb, 8=G, 9=Ab, 10=A, 11=Bb, 12=B。接著13是高音C，頻率變成兩倍，規則繼續重複，像是碎形一樣。

對我這種音樂外行人來看，有趣的地方是明明是12音，卻挑出其中的七音，變成音階。所以Do到高音Do叫八度，中間有七個間隔。（為什麼不挑6個？）因此，裡面就有全音跟半音混雜，而且由開始到結尾，要以2-2-1-2-2-2-1的間距出現，如圖II。這樣聽起來才好聽（才習慣）。用全音半音的順序來看，也就是全-全-半-全-全全-半，如此重複下去。

如圖II，C-D中間是2，鍵盤上差兩格，全音；D-E中間是2，鍵盤上差兩格，全音；E-F中間是1，鍵盤上差一格，半音；E-F中間是2，鍵盤上差兩格，全音；F-G中間是2，鍵盤上差兩格，全音；G-A中間是2，鍵盤上差兩格，全音；A-B中間是2，鍵盤上差兩格，全音；A-高音C中間是1，鍵盤上差一格，半音。（好像七言絕句的平仄一樣。）

這個2-2-1-2-2-2-1的間距很重要，這關係到『好聽』『順耳』。這跟移調、降key有關係。（至於為什麼這樣好聽？這似乎是神經學或是耳朵構造的謎題。）

卡拉OK以C起頭，後來唱到A就唱不上去，只好降Key以求全。就降到低音的F起頭好了，以F起頭，要保持2-2-1-2-2-2-1的間距，接下來是哪個音呢？這就是Circle of Fifths的功能之一。

Circle of Fifths

我們由1號C算起，連半音也算進去，算7個，接下來會遇到8號G，然後再加7，變成15，超過12，要減掉12，就變成3號D。按照這個原則『加7』『超過12減12』。就會像圖III那樣，產生C-G-D-A-E-B-Gb-Dv-Ab-Eb-Bb-F，然後又回到C。

既然又回到C，我們可以把這12音，像是時鐘那樣，畫成一個圓形，如圖IV。這就是Circle of Fifths。我認為用Circle of Sevenths比較容易理解，因為是加7原則產生的。也有人把這個圓，畫成螺旋Spiral，因為它會隨著旋轉而音階越來越高（或越低），邊旋轉邊上升，這就是螺旋了。

這圖形的功能，可以從0點鐘的C開始，如果你找的一組七音階是以C為首，（聽說是叫C大調），那麼你就不用任何#升記號或b降記號，也就是0個。如圖V，如果你由位於3點鐘方向的A起首（應該是A大調吧？），那麼你需要用到3個#升記號，也就是說，要遵守前面講的2-2-1-2-2-2-1的間距，你要彈到3個黑鍵。

 圖IV的Circle of Fifths 可以幫助你知道要用到幾個#升記號或b降記號，看你是用什麼調，也就是以第幾點鐘方向的音起首。（不過，我就不知道只為了這個功能去畫個圈圈的必要性與方便性了。）

下一篇我會繼續講這個圈圈上面數字的關聯，還有立體化之後的意義。

沈思的快樂王子

我跟因為班級腸病毒而放假的兒子，講了快樂王子的故事：

大約在一百年前，法國的巴黎立了一座快樂王子的雕像。他頭戴皇冠，眼睛是紅寶石做的，還有寶劍，身上衣服華麗，外面還鍍上亮金金的黃金。

要進入冬天了，天氣開始變冷，巴黎有很多窮人都沒有飯吃，住的地方也很破爛，又冷又凍的。快樂王子覺得他們很可憐，就請燕子把他身上那些值錢的東西，通通送去給這些窮苦的人。

王子的皇冠、寶石、寶劍都送出去了，還不夠。連衣服，還有那層黃金也都送出去了。原本金光閃閃的快樂王子，變成黑黑的雕像。

燕子說：王子殿下，這樣不行啦！你的衣服都送走了，冬天來了會下雪，你會很冷很冷的。我們到一個不會下雪的地方吧！

於是快樂王子和燕子，就走了好遠的路，坐船坐飛機到不會下雪的台灣。然後快樂王子好累喔～～就這樣坐下來了。

這就是校園裡那個黑黑光屁股雕像的故事。

原來他可是愛心助人的快樂王子喔～～

我還指著他的腳說：你看，連鞋子都送人了。

今天兒子還指定要去看那光屁屁的快樂王子溜～～