南瓜與湖畔的學姊

第一次聽到這故事，是在清大。

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
說是晚上在湖邊，偶爾會遇到美麗的學姊，臉色白皙，動作輕柔，她會問你說：

學弟，可以跟我說現在是幾點了嗎？

嗯，十點。

唉～～我再等一下好了。

學姊移動輕輕的腳步，在不遠處望著湖心等著。

。。。。過了一陣子，原來的人已經離開了。

學弟，可以跟我說現在幾點了嗎？

喔～～十二點。

唉～～學姊深深地嘆了一口氣，他還是沒有來～～

然後，人向湖心走去，無聲無息地消失在黑夜之中。

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

這故事後來在台大又聽過一次，然後我就知道這是有人編的。大概有湖的學校，就會有這樣的故事。

看著南瓜的黃色雌花，我想到了這個傳說。雄花與雌花開花一天左右就凋謝，兩個沒有相遇，雌花就不會授粉，也就不結南瓜了。我猜編這故事的靈感，是來自這個相遇甚難的花朵。

於是，我跟南瓜花說：

你的他，昨天有來，明天也會來。

我沒聽到她的嘆息，但是隔天，她還是消失不見了。

在悠悠輪轉的歲月裡，我們在這時空相遇。

－以此文紀念那些錯過彼此的花朵們。

『冰雪奇緣』教的事－那些迎合你的，很可能是愛情騙子

《冰雪奇緣》Frozen裡的二公主安娜，跟剛剛認識的漢斯王子戀愛了，當天就接受漢斯的求婚。漢斯是個王子，長得帥、會跳舞、又會講話。但是，事後證明，他是覬覦王位的騙子。

這首歌是個很好的教材，身為兩個女兒的爹，一邊聽這首定情對唱，就一邊分析歌曲中騙子的蛛絲馬跡。

就像《Innocence》裡的巴特說的：

正如幸運會顯現三次，災難也會兆示三次。

在這首對唱裡，漢斯王子其實洩露了他騙人的企圖。

一開始，安娜說，她要說些瘋狂的話。漢斯馬上說：我喜歡瘋狂。
然後安娜說自己活到現在如何如何。漢斯馬上說：我也是這樣想。
接著安娜說她喜歡三明治。漢斯說：我也是。

看到沒，這麼巧。喜歡的都一樣，簡直是天生一對。
也許是天生一對，但是，我說啊！女孩們，要讓對方先講。妳才知道這是恰巧，還是對方曲己迎合。人腦至少有兩條迴路，一條是感情為主的heuristic，快速但是很可能沒有仔細考慮。另一條，就是理性，通常要慢下來好好分析。

就像你看到擲公正的銅板，前面五次的結果是『正正正正正』，請問第六次是哪一面？

覺得正面這麼多次，該出現反面了。很好，你是很有感情的人。
覺得正面這麼多次，這銅板或桌面有問題，偏向正面。所以第六次還是正面。很好，你是會歸納經驗的人。

很少人直覺就答正反面都有可能，機會一半一半。如果是的話，恭喜你，你是Homo Mathematicus

女兒啊！小心那些講話一直迎合妳的人、特別是又高、又帥的那種。

2014年寫的：《爸爸經》愛情騙子 - 『冰雪奇緣』教的事

《字詞通考》－掛了的智慧

上回講課的時候，講到牛頓古典世界觀到拉普拉斯魔鬼的命定論，邊講邊懂了為什麼說死掉叫掛了。明白了『掛了』的意思。

如果這人生是命定論的，今天會發生什麼事情，在昨天就決定好了。這樣一直往前推，在宇宙開始的那一刻，就註定各位在這堂課出席。然後看著你的人生就會發現，我們不過像是人生舞台的戲偶，要演什麼都不是我們可以決定的。


即使如此，我們還是可以有兩種態度去面對這樣的命定世界。

你是會覺得毫無希望，反正什麼都決定好了，怎麼努力都是徒然，甚至努力本身都不是發自於自由意志。
或者，你會感到輕鬆自在，反正事情如何發展，我都沒有責任。免了責任，你反而可以真正的悠遊人生。

如果是前者，你背負著比薛西佛斯還沈重的擔子，人生充滿了不願意、充滿著無可奈何。

如果是後者呢？這還要你相信人生結束之後，有個家可以回，我們的確是人生物台的戲偶，但是演完這齣戲，還可以下台做自己。那麼，這樣的態度應該是輕鬆自在才對。這樣的話，在我們人生結束時，就像是脫下這肉身，把戲服『掛了』起來，從容地下台回家（等著下次的演出）。

這樣說來，把離世稱為『掛了』，實在藏有大智慧啊！

Circle of Fifths 數字的六角形

從前一篇，知道了這個圈圈是怎麼用+7法則產生的，十二音是怎麼排上去的。接下來，這個圈圈上面的數字（其實是音階）有什麼關聯呢？

奇偶六角形

由0點鐘方向的C出發，與隔一點的D連線，再隔一點連接E，然後是Gb, Eb, Bb，最後又回到C。這可以畫出一個六角形，他們的數字剛好是1-3-5-7-9-11。同樣的方式，由7點鐘方向的Db出發，與隔一點的Eb連線，再隔一點連接F，然後是G, A, B，最後又回到Db，他們的數字剛好是2-4-6-8-10-12。用十二音來看，一個是奇數六角，一個是偶數六角。這是因為用+7法則產生的結果。

我沒有用音樂來聽看看這奇偶六角形，聽起來會是什麼樣子。這裏純粹是看數字的關係。

還有，在圈圈上的對角方向，數字是差6。

立體的Circle of Fifths

接下來是問題的所在，有人把平面的圈圈立體化了。問題是，平面就可以幫助作曲者找調，加#升記號或b降記號，畫成立體可以多看到什麼嗎？

這立體不是正多面體，而是有三角形跟四角形組成。或者說，你用六個四角形，上面三個，下面三個搭起一個立體形狀，把三角形當成空的。或者是把四角形當成空的，用八個三角形來搭起一個立體形狀。我是比較偏向後者，不要管四角形的部分。

於是，你會發現這裡面有八個三角形，分別是頂的CGD、底的DbGbAb、上面的DAE, GEbB, CFBb，還有下面的EBGb, BbEbAb, AFDb。我們把數字標上去，他們分別是1-8-3(CGD), 2-7-9(DbGbAb), 3-10-5(DAE), 8-4-12(GEbB), 1-6-11(CFBb),5-12-7 (EBGb), 11-4-9(BbEbAb), 10-6-2(AFDb)。

藍色字的三角形，『邊長』（就是數字相減）是2-5-7，那這2-5-7是什麼意思呢？我猜～～

2是相鄰的全音。
5：2-2-1，就是12音階的第一段。
7：2-2-2-1，就是12音階的第二段。

聽起來怎麼樣，就要實際演奏看看。

 至於那個不是2-5-7的兩個三角形，從我們這角度看過去，8-4-12(GEbB)和10-6-2(AFDb)，就是偶數六角形。其他外圈的六個，就是奇數六角形。

六角形之半音三角 

橫著還可以連出三個六角形，分別是AEBEbBbF、CGBGbDbF、還有DADbAbEbG，改成數字分別就是10-5-12-4-11-6、1-8-12-7-2-6、還有3-10-2-9-4-8，這三個六角形，分別可拆成兩組相鄰的三角形(或說是半音三角形）：

10-5-12-4-11-6 ： 10-12-11 + 5-4-6

1-8-12-7-2-6：1-12-2 + 8-7-6  （因為是循環，12 = -1）

3-10-2-9-4-8：3-2-4 + 10-9-8

當然，這跟原來幫助作曲、找key、加升降記號的功能都不一樣了。這已經是數字遊戲了。

不過，有樂器的人，還是可以沿著這些三角形、六角形，試著演奏一下，來來回回重複聽看看。

最後兩個問題：

那個中心是什麼？
神有靜止在自己的內在嗎？

既然音階代表的頻率是等比數列，那麼，中心應該是所謂幾何平均數，就是兩端相乘開根號。實際乘看看，並不是。兩端數字相減差六，就是有一端要乘2^(1/12)六次會跑到另一端去。中心，是不是乘以2^(1/12)三次，也就是2^(1/4)呢？好像也不是。

這件事，就請音樂家、數字迷來猜想吧～～

Circle of Fifths 外行人的數學解釋

音樂老師問我，Circle of Fifths的立體圖像，跟上一篇的多面體有關係嗎？

應該是有關的，因為都是重複性出現的結構，具有神靜止在自身之中的形象。

我不知道這Circle of Fifths中文怎麼翻，意思是說，你把十二音階，鋼琴鍵上的黑白鍵都算進去，一輪是十二個。以五來數，可以排出一個圈圈。這可以幫助了解樂曲的大調小調，選了這個調，會有幾個升記號或幾個降記號。原來從Do開始的七音，不用升記號。其他音開始的，加了升（或降）記號後，也可以找到聽起來才和諧的七音。

我找了一些資料後，發現這個Circle of Fifths，用Circle of Sevenths比較不會造成（像我這種沒音樂底子人的）誤解。當然啦！5+7 =12 用五跟七數法不同，道理是相通的。

音階的等比關係

要講Circle of Fifths，就先從音階講起。在人類耳朵的尺度裡，隨著音階頻率的升高（或是弦的變短），我們又可以聽到一樣和諧但是高一點的一組音階。隨著音階頻率的減低，一樣以可以聽到低一點，但是也和諧的另一組音階。高音的Do頻率是低音Do的兩倍，當然高音La的頻率也是低音La的兩倍。如此，將鍵盤上的黑白鍵全部算進去，一組八度音，有十二個鍵盤。先放棄八度音的8，用十二鍵盤的十二階來想，Do的頻率要乘以某個數12次之後，就到達高音Do，頻率變成兩倍。換言之，相鄰兩鍵之間的頻率相比，比值是2的12次根號，或說2^(1/12)。二的十二分之一次方。

 如果用同樣材質，拉同樣的鬆緊度。弦長就跟彈出來的聲音頻率成反比。也就是頻率越高弦越短，頻率越低弦越長。把這些弦由發出的聲音頻率，由低往高排，就會像圖畫的那樣。弦越長聲音越低，最後就超過人耳可聽的範圍，變成不連續的聲音。弦越短聲音越高，最後也超過人耳可聽的範圍。

因為音階之間的頻率，是倍比關係，所以這曲線是像指數上升的曲度。

然後，我們也會發現內在的相似。隨著弦等比變短，聲音越高。接著弦變成一半長，聲音高了八度。重複的結構再度出現，弦繼續等比變短，聲音越高。接著弦再變成一半長，聲音又高了八度。

神靜止在自身之內。

十二音階

再來我們看看這12音階，由Do到高音Do之間，分成12階，每階的聲音頻率，高了前面講的2^(1/12)倍。這就是所謂的『半音』。

如圖I 所示，把黑鍵也算進去，重新編號。這裏黑鍵的符號是要用Db，還是#C，這兩個音是不一樣的，但是為了方便簡化，我全部用b降記號來表示。重新編號之後，1=C, 2=Db, 3=D, 4=Eb, 5=E, 6=F, 7=Gb, 8=G, 9=Ab, 10=A, 11=Bb, 12=B。接著13是高音C，頻率變成兩倍，規則繼續重複，像是碎形一樣。

對我這種音樂外行人來看，有趣的地方是明明是12音，卻挑出其中的七音，變成音階。所以Do到高音Do叫八度，中間有七個間隔。（為什麼不挑6個？）因此，裡面就有全音跟半音混雜，而且由開始到結尾，要以2-2-1-2-2-2-1的間距出現，如圖II。這樣聽起來才好聽（才習慣）。用全音半音的順序來看，也就是全-全-半-全-全全-半，如此重複下去。

如圖II，C-D中間是2，鍵盤上差兩格，全音；D-E中間是2，鍵盤上差兩格，全音；E-F中間是1，鍵盤上差一格，半音；E-F中間是2，鍵盤上差兩格，全音；F-G中間是2，鍵盤上差兩格，全音；G-A中間是2，鍵盤上差兩格，全音；A-B中間是2，鍵盤上差兩格，全音；A-高音C中間是1，鍵盤上差一格，半音。（好像七言絕句的平仄一樣。）

這個2-2-1-2-2-2-1的間距很重要，這關係到『好聽』『順耳』。這跟移調、降key有關係。（至於為什麼這樣好聽？這似乎是神經學或是耳朵構造的謎題。）

卡拉OK以C起頭，後來唱到A就唱不上去，只好降Key以求全。就降到低音的F起頭好了，以F起頭，要保持2-2-1-2-2-2-1的間距，接下來是哪個音呢？這就是Circle of Fifths的功能之一。

Circle of Fifths

我們由1號C算起，連半音也算進去，算7個，接下來會遇到8號G，然後再加7，變成15，超過12，要減掉12，就變成3號D。按照這個原則『加7』『超過12減12』。就會像圖III那樣，產生C-G-D-A-E-B-Gb-Dv-Ab-Eb-Bb-F，然後又回到C。

既然又回到C，我們可以把這12音，像是時鐘那樣，畫成一個圓形，如圖IV。這就是Circle of Fifths。我認為用Circle of Sevenths比較容易理解，因為是加7原則產生的。也有人把這個圓，畫成螺旋Spiral，因為它會隨著旋轉而音階越來越高（或越低），邊旋轉邊上升，這就是螺旋了。

這圖形的功能，可以從0點鐘的C開始，如果你找的一組七音階是以C為首，（聽說是叫C大調），那麼你就不用任何#升記號或b降記號，也就是0個。如圖V，如果你由位於3點鐘方向的A起首（應該是A大調吧？），那麼你需要用到3個#升記號，也就是說，要遵守前面講的2-2-1-2-2-2-1的間距，你要彈到3個黑鍵。

 圖IV的Circle of Fifths 可以幫助你知道要用到幾個#升記號或b降記號，看你是用什麼調，也就是以第幾點鐘方向的音起首。（不過，我就不知道只為了這個功能去畫個圈圈的必要性與方便性了。）

下一篇我會繼續講這個圈圈上面數字的關聯，還有立體化之後的意義。

恐龍石

野柳出名的是女王頭，更好玩的是大家可以盡情配對與想像。兒子說，這是恐龍石，像恐龍一樣。喔～～他講的大概是這種恐龍吧！

走到這裡，我們就回頭了。

霾

層層遠山視茫茫，近水高樓亦難望，
抬頭望天不見日，張口無語肺已傷。

2015年寫的。

力

《隨意想》


如果照《星際效應》的說法，愛是穿越時空的萬有引力。

那個電磁力是什麼？邪魔歪道的魔法嗎？

《X戰警》的壞人頭頭萬磁王，的確是掌握電磁力啊！