2017年8月27日 星期日

Circle of Fifths 數字的六角形

從前一篇,知道了這個圈圈是怎麼用+7法則產生的,十二音是怎麼排上去的。接下來,這個圈圈上面的數字(其實是音階)有什麼關聯呢?



奇偶六角形

由0點鐘方向的C出發,與隔一點的D連線,再隔一點連接E,然後是Gb, Eb, Bb,最後又回到C。這可以畫出一個六角形,他們的數字剛好是1-3-5-7-9-11。同樣的方式,由7點鐘方向的Db出發,與隔一點的Eb連線,再隔一點連接F,然後是G, A, B,最後又回到Db,他們的數字剛好是2-4-6-8-10-12。用十二音來看,一個是奇數六角,一個是偶數六角。這是因為用+7法則產生的結果。

我沒有用音樂來聽看看這奇偶六角形,聽起來會是什麼樣子。這裏純粹是看數字的關係。

還有,在圈圈上的對角方向,數字是差6。

立體的Circle of Fifths

接下來是問題的所在,有人把平面的圈圈立體化了。問題是,平面就可以幫助作曲者找調,加#升記號或b降記號,畫成立體可以多看到什麼嗎?



這立體不是正多面體,而是有三角形跟四角形組成。或者說,你用六個四角形,上面三個,下面三個搭起一個立體形狀,把三角形當成空的。或者是把四角形當成空的,用八個三角形來搭起一個立體形狀。我是比較偏向後者,不要管四角形的部分。

於是,你會發現這裡面有八個三角形,分別是頂的CGD、底的DbGbAb、上面的DAE, GEbB, CFBb,還有下面的EBGb, BbEbAb, AFDb。我們把數字標上去,他們分別是1-8-3(CGD), 2-7-9(DbGbAb), 3-10-5(DAE), 8-4-12(GEbB), 1-6-11(CFBb),5-12-7 (EBGb), 11-4-9(BbEbAb), 10-6-2(AFDb)。

藍色字的三角形,『邊長』(就是數字相減)是2-5-7,那這2-5-7是什麼意思呢?我猜~~

2是相鄰的全音。
5:2-2-1,就是12音階的第一段。
7:2-2-2-1,就是12音階的第二段。

聽起來怎麼樣,就要實際演奏看看。



 至於那個不是2-5-7的兩個三角形,從我們這角度看過去,8-4-12(GEbB)和10-6-2(AFDb),就是偶數六角形。其他外圈的六個,就是奇數六角形。

六角形之半音三角 

橫著還可以連出三個六角形,分別是AEBEbBbF、CGBGbDbF、還有DADbAbEbG,改成數字分別就是10-5-12-4-11-6、1-8-12-7-2-6、還有3-10-2-9-4-8,這三個六角形,分別可拆成兩組相鄰的三角形(或說是半音三角形):

10-5-12-4-11-6 : 10-12-11 + 5-4-6

1-8-12-7-2-6:1-12-2 + 8-7-6  (因為是循環,12 = -1)

3-10-2-9-4-8:3-2-4 + 10-9-8

當然,這跟原來幫助作曲、找key、加升降記號的功能都不一樣了。這已經是數字遊戲了。

不過,有樂器的人,還是可以沿著這些三角形、六角形,試著演奏一下,來來回回重複聽看看。

最後兩個問題:

那個中心是什麼?
神有靜止在自己的內在嗎?

既然音階代表的頻率是等比數列,那麼,中心應該是所謂幾何平均數,就是兩端相乘開根號。實際乘看看,並不是。兩端數字相減差六,就是有一端要乘2^(1/12)六次會跑到另一端去。中心,是不是乘以2^(1/12)三次,也就是2^(1/4)呢?好像也不是。

這件事,就請音樂家、數字迷來猜想吧~~





2 則留言:

  1. 有意思,我彈了之後,再從聲音的角度來回應

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  2. 這些聽起來是怎樣的?順序還可以排列組合。

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