孺子可教

前幾天放學時，幫忙把女兒的同學們接到家裡。

其中一位說：我肚子有點餓，想吃一點東西。

我就指著牆上的時鐘說：

『可是一點已經被吃掉了。喔～其實，兩點也飛走了。』


他接著說：『那我吃十二點好了。』

『那拿下來給你啃吧～～』我說。

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所謂『不經一番寒徹骨，哪得梅花撲鼻香』大概就是這個道理吧～～

Circle of Fifths 數字的六角形

從前一篇，知道了這個圈圈是怎麼用+7法則產生的，十二音是怎麼排上去的。接下來，這個圈圈上面的數字（其實是音階）有什麼關聯呢？

奇偶六角形

由0點鐘方向的C出發，與隔一點的D連線，再隔一點連接E，然後是Gb, Eb, Bb，最後又回到C。這可以畫出一個六角形，他們的數字剛好是1-3-5-7-9-11。同樣的方式，由7點鐘方向的Db出發，與隔一點的Eb連線，再隔一點連接F，然後是G, A, B，最後又回到Db，他們的數字剛好是2-4-6-8-10-12。用十二音來看，一個是奇數六角，一個是偶數六角。這是因為用+7法則產生的結果。

我沒有用音樂來聽看看這奇偶六角形，聽起來會是什麼樣子。這裏純粹是看數字的關係。

還有，在圈圈上的對角方向，數字是差6。

立體的Circle of Fifths

接下來是問題的所在，有人把平面的圈圈立體化了。問題是，平面就可以幫助作曲者找調，加#升記號或b降記號，畫成立體可以多看到什麼嗎？

這立體不是正多面體，而是有三角形跟四角形組成。或者說，你用六個四角形，上面三個，下面三個搭起一個立體形狀，把三角形當成空的。或者是把四角形當成空的，用八個三角形來搭起一個立體形狀。我是比較偏向後者，不要管四角形的部分。

於是，你會發現這裡面有八個三角形，分別是頂的CGD、底的DbGbAb、上面的DAE, GEbB, CFBb，還有下面的EBGb, BbEbAb, AFDb。我們把數字標上去，他們分別是1-8-3(CGD), 2-7-9(DbGbAb), 3-10-5(DAE), 8-4-12(GEbB), 1-6-11(CFBb),5-12-7 (EBGb), 11-4-9(BbEbAb), 10-6-2(AFDb)。

藍色字的三角形，『邊長』（就是數字相減）是2-5-7，那這2-5-7是什麼意思呢？我猜～～

2是相鄰的全音。
5：2-2-1，就是12音階的第一段。
7：2-2-2-1，就是12音階的第二段。

聽起來怎麼樣，就要實際演奏看看。

 至於那個不是2-5-7的兩個三角形，從我們這角度看過去，8-4-12(GEbB)和10-6-2(AFDb)，就是偶數六角形。其他外圈的六個，就是奇數六角形。

六角形之半音三角 

橫著還可以連出三個六角形，分別是AEBEbBbF、CGBGbDbF、還有DADbAbEbG，改成數字分別就是10-5-12-4-11-6、1-8-12-7-2-6、還有3-10-2-9-4-8，這三個六角形，分別可拆成兩組相鄰的三角形(或說是半音三角形）：

10-5-12-4-11-6 ： 10-12-11 + 5-4-6

1-8-12-7-2-6：1-12-2 + 8-7-6  （因為是循環，12 = -1）

3-10-2-9-4-8：3-2-4 + 10-9-8

當然，這跟原來幫助作曲、找key、加升降記號的功能都不一樣了。這已經是數字遊戲了。

不過，有樂器的人，還是可以沿著這些三角形、六角形，試著演奏一下，來來回回重複聽看看。

最後兩個問題：

那個中心是什麼？
神有靜止在自己的內在嗎？

既然音階代表的頻率是等比數列，那麼，中心應該是所謂幾何平均數，就是兩端相乘開根號。實際乘看看，並不是。兩端數字相減差六，就是有一端要乘2^(1/12)六次會跑到另一端去。中心，是不是乘以2^(1/12)三次，也就是2^(1/4)呢？好像也不是。

這件事，就請音樂家、數字迷來猜想吧～～

Circle of Fifths 外行人的數學解釋

音樂老師問我，Circle of Fifths的立體圖像，跟上一篇的多面體有關係嗎？

應該是有關的，因為都是重複性出現的結構，具有神靜止在自身之中的形象。

我不知道這Circle of Fifths中文怎麼翻，意思是說，你把十二音階，鋼琴鍵上的黑白鍵都算進去，一輪是十二個。以五來數，可以排出一個圈圈。這可以幫助了解樂曲的大調小調，選了這個調，會有幾個升記號或幾個降記號。原來從Do開始的七音，不用升記號。其他音開始的，加了升（或降）記號後，也可以找到聽起來才和諧的七音。

我找了一些資料後，發現這個Circle of Fifths，用Circle of Sevenths比較不會造成（像我這種沒音樂底子人的）誤解。當然啦！5+7 =12 用五跟七數法不同，道理是相通的。

音階的等比關係

要講Circle of Fifths，就先從音階講起。在人類耳朵的尺度裡，隨著音階頻率的升高（或是弦的變短），我們又可以聽到一樣和諧但是高一點的一組音階。隨著音階頻率的減低，一樣以可以聽到低一點，但是也和諧的另一組音階。高音的Do頻率是低音Do的兩倍，當然高音La的頻率也是低音La的兩倍。如此，將鍵盤上的黑白鍵全部算進去，一組八度音，有十二個鍵盤。先放棄八度音的8，用十二鍵盤的十二階來想，Do的頻率要乘以某個數12次之後，就到達高音Do，頻率變成兩倍。換言之，相鄰兩鍵之間的頻率相比，比值是2的12次根號，或說2^(1/12)。二的十二分之一次方。

 如果用同樣材質，拉同樣的鬆緊度。弦長就跟彈出來的聲音頻率成反比。也就是頻率越高弦越短，頻率越低弦越長。把這些弦由發出的聲音頻率，由低往高排，就會像圖畫的那樣。弦越長聲音越低，最後就超過人耳可聽的範圍，變成不連續的聲音。弦越短聲音越高，最後也超過人耳可聽的範圍。

因為音階之間的頻率，是倍比關係，所以這曲線是像指數上升的曲度。

然後，我們也會發現內在的相似。隨著弦等比變短，聲音越高。接著弦變成一半長，聲音高了八度。重複的結構再度出現，弦繼續等比變短，聲音越高。接著弦再變成一半長，聲音又高了八度。

神靜止在自身之內。

十二音階

再來我們看看這12音階，由Do到高音Do之間，分成12階，每階的聲音頻率，高了前面講的2^(1/12)倍。這就是所謂的『半音』。

如圖I 所示，把黑鍵也算進去，重新編號。這裏黑鍵的符號是要用Db，還是#C，這兩個音是不一樣的，但是為了方便簡化，我全部用b降記號來表示。重新編號之後，1=C, 2=Db, 3=D, 4=Eb, 5=E, 6=F, 7=Gb, 8=G, 9=Ab, 10=A, 11=Bb, 12=B。接著13是高音C，頻率變成兩倍，規則繼續重複，像是碎形一樣。

對我這種音樂外行人來看，有趣的地方是明明是12音，卻挑出其中的七音，變成音階。所以Do到高音Do叫八度，中間有七個間隔。（為什麼不挑6個？）因此，裡面就有全音跟半音混雜，而且由開始到結尾，要以2-2-1-2-2-2-1的間距出現，如圖II。這樣聽起來才好聽（才習慣）。用全音半音的順序來看，也就是全-全-半-全-全全-半，如此重複下去。

如圖II，C-D中間是2，鍵盤上差兩格，全音；D-E中間是2，鍵盤上差兩格，全音；E-F中間是1，鍵盤上差一格，半音；E-F中間是2，鍵盤上差兩格，全音；F-G中間是2，鍵盤上差兩格，全音；G-A中間是2，鍵盤上差兩格，全音；A-B中間是2，鍵盤上差兩格，全音；A-高音C中間是1，鍵盤上差一格，半音。（好像七言絕句的平仄一樣。）

這個2-2-1-2-2-2-1的間距很重要，這關係到『好聽』『順耳』。這跟移調、降key有關係。（至於為什麼這樣好聽？這似乎是神經學或是耳朵構造的謎題。）

卡拉OK以C起頭，後來唱到A就唱不上去，只好降Key以求全。就降到低音的F起頭好了，以F起頭，要保持2-2-1-2-2-2-1的間距，接下來是哪個音呢？這就是Circle of Fifths的功能之一。

Circle of Fifths

我們由1號C算起，連半音也算進去，算7個，接下來會遇到8號G，然後再加7，變成15，超過12，要減掉12，就變成3號D。按照這個原則『加7』『超過12減12』。就會像圖III那樣，產生C-G-D-A-E-B-Gb-Dv-Ab-Eb-Bb-F，然後又回到C。

既然又回到C，我們可以把這12音，像是時鐘那樣，畫成一個圓形，如圖IV。這就是Circle of Fifths。我認為用Circle of Sevenths比較容易理解，因為是加7原則產生的。也有人把這個圓，畫成螺旋Spiral，因為它會隨著旋轉而音階越來越高（或越低），邊旋轉邊上升，這就是螺旋了。

這圖形的功能，可以從0點鐘的C開始，如果你找的一組七音階是以C為首，（聽說是叫C大調），那麼你就不用任何#升記號或b降記號，也就是0個。如圖V，如果你由位於3點鐘方向的A起首（應該是A大調吧？），那麼你需要用到3個#升記號，也就是說，要遵守前面講的2-2-1-2-2-2-1的間距，你要彈到3個黑鍵。

 圖IV的Circle of Fifths 可以幫助你知道要用到幾個#升記號或b降記號，看你是用什麼調，也就是以第幾點鐘方向的音起首。（不過，我就不知道只為了這個功能去畫個圈圈的必要性與方便性了。）

下一篇我會繼續講這個圈圈上面數字的關聯，還有立體化之後的意義。

神靜止在祂的自身之內

神靜止在祂的自身之內

看到《入門》書上寫古代埃及祭司，在傳授神的道理時，用了平面與多面體的具體模型，來解釋造物者的真理——『神靜止在祂的自身之內』。我們是造物者所造之物，造物者最後靜止在受造物之內－也就是我們。因此，神不在外面，人只能往內尋找內在神性。

埃及祭司在傳授知識的時候，用幾何圖形比喻。他先用平面的正三角形，正三角形代表神，也就是造物者。在三角形的內部，還可以畫出一個三角形。如此下去，無窮無盡，最後，代表神的三角形，在三角形的最裡面，造物者可以向外創造，也可以向內。這就是『神靜止在祂自身之內』。

如果用立體圖形來比喻，如同這影片那樣，五角形組成的正十二面體，內含四角形組成的六面體，接著是三角形組成的四面體、三角形組成的八面體，然後是三角形組成的二十面體。而這正二十面體，剛好有十二個頂點。接著，如果你用最後那個二十面體的十二個頂點為中心，各畫一個面，又會出現最開始的十二面體。然後就是12, 6, 4, 8, 20 一直循環下去。多面體內部還可以切出另一個多面體，然後又可以切出另一個多面體，照這原則下去，最後又可以切出最開始的那個多面體，如此循環下去。

這就是『神靜止在他自身之內』。我們的內部，其實跟外部的道理是一樣的。最後，神又回到中心。

大祭司用這些對稱多面體的你中有我、我中有你的圖像，來比喻『造物者創造之後，停留在自己的中心』。

其實，這就是碎形(fractal)的概念之一，你仔細看，放大之後，跟原來是一樣的。縮小之後，也跟內部構造一樣。這概念就是，在人類尺度範圍內，物質遵守同樣的物理定律。

這也是全息律的觀點，我們是小宇宙，跟日月星辰的大宇宙息息相關。中醫對身體也有這樣的觀點，耳穴、足底按摩，都是用身體部份的耳朵、腳底的小宇宙，反映全身這個大宇宙。全身這個大宇宙的健康狀況，會表現在小宇宙的耳朵跟腳（或其他部分）。治療也可以逆向操作，由小宇宙治療起，保持大宇宙的健康。

這就不就像前面所說的層層結構嗎？

宇宙或許不像克卜勒他們那時代認為的，是由多面體晶體層層包裹組成的。但是這個『向外等於向內』的觀念是相通的。Steiner也這樣講，要了解宇宙的真理，要向內部尋找。要了解內部的真理，可以向外觀察。

如果要從科學的觀點來看，就是說在人類的尺度上，規範這世界的物理定律是一樣的。你會在日月星辰上發現跟地球上相通的道理。月亮繞地球的原理，跟蘋果掉下來的原理是一樣的。小小葉子邊緣，跟整個樹葉成長的模式是相通的。這是碎形在講的，你拿放大鏡一看，還會發現小結構跟大結構是類似的。因為他們在這尺度下，遵循同樣的物理定律。

謝謝你們，在時空的一隅找到我

2017的父親節寫的：

謝謝你們，在時空的角落找到我。

第一片蛋糕給媽媽，謝謝她，我才有機會當爸爸。
第二片蛋糕給姊姊，謝謝她，我真正地當爸爸。
第三片蛋糕給妹妹，謝謝她，讓我住在女生宿好幾年。
第四片蛋糕給弟弟，謝謝他，當男生來陪我。


謝謝你們，在時空的角落找到我。


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2014年的母親節這樣寫：


國中課本裡，選了詩人吳晟的新詩《負荷》，說父母像陀螺一樣轉啊轉，這是最沈重也最甜蜜的負荷。那時的國文，只注重解釋、題解、韻腳，對於『欣賞』也是用背誦的方式，叫學生們記下教師手冊的『文學賞析』。

（後來，機緣巧合接待過這位詩人花蓮一日遊。）

更後來，我有幸結婚，當了爸爸。
我大概能體會詩人在醫院等待新生兒的心情。爸爸只能在場邊加油，當母女（子）的啦啦隊。（也許以後也是啦啦隊！！）

不過，對我而言，小孩子是甜蜜的療癒天使。人生很少有機會，有人可以全心全意毫無保留的愛你。也很少有機會可以檢視自己。

謝謝你們喔～ 我的小朋友們。

《西遊記的啟示》－向後輩學習的勇氣

西遊記常常被說成是神魔小說，一般都說自由自在的孫悟空被緊箍咒給束縛了。

孫悟空是何等人物，會法術、變身、還有火眼睛金、筋斗雲、還拿金箍棒這等厲害武器。本領高強，可以在天界與眾仙鬥法鬥力，要不是如來佛出手，他幾乎拿下玉帝寶座。

在遇見唐三藏之前，他都活了快一千年，而唐三藏那時只是個二十幾歲的年輕和尚，說佛法也不是當世得道高僧。照輩份，孫悟空是前輩，唐三藏是晚輩，而且是很後生後生的晚輩。

孫悟空雖然說是被迫拜了那個小和尚做師父，一路上他有很多機會像那些妖怪一樣，直接吃了唐僧補足功力，再向天庭挑戰。可是他沒有。他一路上應該有懷疑過這個小和尚能教他這個千年猴仙嗎？即使半信半疑，他還是跟了小和尚去印度取經。

以他千年功力，卻拜這小和尚為師父，這是何等勇氣啊！

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1. 現在很多自認為功成名就、學問深厚的前輩們，動不動就要罵年輕人如何如何。

2. 功力本領沒有孫悟空高強，卻自比為唐僧者多矣。

3. 愛用《西遊記》當教材的老師們，我們要看到這一點，而且要學習孫悟空的勇氣，向小孩子學習。

《人智醫學的音樂治療》－聲音的地球脈動

最初，各地有各自的音樂，發展各自的音階。有趣的是，大家的音階都很接近，都是以256 Hz的Do、432Hz的La這個系列。這表示人類的耳朵、音感有其共通性，而最可能的來源是地球的脈動。音樂是人類呼吸的延伸，而呼吸是來自宇宙的脈動。這組音階有了自然的意義。

人類的呼吸平均每分鐘18次，一天就18x60x24=25920，這剛好是柏拉圖宇宙年的數字。所謂柏拉圖宇宙年，來自於地球自轉軸的precession，地軸對出去的天球北極會移動，每年春分點的太陽星座會偏移個幾度。從有占星術以來，春分的星座已經從白羊座移經雙魚座，現在到了水瓶座。所謂水瓶座世紀，指得就是我們接下來兩千多年春分時候的太陽星座。這樣一直移動下去，過了大約25920年之後，又會回到白羊座，整個星圖又重來一遍。這是地球的宇宙大週期，柏拉圖的宇宙年。剛好，跟我們一年呼吸的次數一樣。

這樣說來，呼吸的次數跟地球在宇宙的脈動有關係。這個關係，也使得人為的時間長度－秒，有了自然的意義。當然，秒也跟我們的脈搏很接近。時間的單位有了自然意義，每秒鐘震盪的次數－頻率，也有了自然的意義。一秒鐘震盪一次叫1 Hz，一秒震盪兩次就是2 Hz，按照音樂的原理，2 Hz 是比1 Hz高了八度，如果用弦長表示的話，2 Hz的弦長是1 Hz的一半。如此二分之一下去，第三次就會遇到8 Hz，這是地球的脈動頻率。接著再二分之一下去幾次，就會遇到256 Hz，這是音階裡面的C (Do)。如果C定在256 Hz＊，A (La)就會在432 Hz。換句話說，432 Hz是跟地球脈動有關的。

各地的樂團可能會合奏，或是鋼琴家受邀到另一地方的交響樂團共同演出。這時候，各個音階就有共同頻率的必要了。在1939年時，世界各國開了個會議決定以440 Hz為La，當時與會的不全然是音樂家。同時間，也有兩萬多個音樂家連署反對，可是反對無效。La 就成了440 Hz，其他音階就根據這個440 Hz而調整，當然整組音階會比以432 Hz為La的要高一些，Do也不會在128 Hz，而是在130附近的非整數。

那麼，這兩組音階有什麼差別呢？

Laura老師，就用里拉琴彈了這兩組音階，以同一樂曲個別彈了兩次。曲調很簡單，分別都很和諧，仔細聽，其實是有差別的。我出現的畫面是這樣的，兩首曲子聽起來都像是小船在海上漂啊漂，海浪很柔和、風也徐徐輕吹，天色微亮，小小彩雲幾片。不過，有一首聽起來是晨光中出海，船頭航向升起的太陽。另一首聽起來是傍晚在餘暉中回家。後來才知道前面是440 Hz這曲子，後面是432 Hz的曲子。440 Hz聽起來是發散的、放射的、高昂的；432 Hz聽起來是沈穩的、收斂的。

靜靜的時候，不需要音樂家的音感，我們都聽得出來。

附帶一提的是，Laura老師一直強調 Qualität & WIE，就是品質，還有如何去做。音樂治療不像食譜配方一樣，不是什麼症頭就吃什麼要那樣，而是在治療師與患者互動中，找到可以治療的音樂處方。至於要選 432 Hz與440 Hz，甚至現在還要訂得更高的音階。那就看你要為聽眾帶來什麼樣的品質，你希望他們出航、出發、振奮精神，那就走高亢路線。你希望他們回歸、沉靜，那就低調一些。

接下來，我想聽聽那個地球脈動的 8 Hz聲音，這在人類聽力之外，聽起來是一連串的聲音。可是，那是敲擊聲、海浪聲、蟲叫聲、還是什麼聲音呢？現代人都聽不出來嗎？

＊跟432 Hz La一起的Do應該是256.87 Hz，這樣高音Do是 513.74 Hz，比La 還高一些，資料來源。

延伸閱讀音樂、呼吸、占星術 男女的情緒差異