我們要在十三次上課，21
小時裡面講完機率、統計、排列、組合。一般會分成『機率統計』『排列組合』兩個主題來講，這中間還會加入一個跟邏輯有關的『集合論』，這給十五歲的孩子一次很好的思考練習。
就跟大家學腳踏車一樣，要練才會騎，會騎之後，從十公尺、一公里、十公里，練習再練習。學游泳也是如此，除非你很有天份，沒有那種教練講完，你直接跳下水就會游了。各種學習都是如此，講完就會了的天才很少。七年級以後，你們去山林、去海洋都也要事先練習，甚至半年前就開始爬小山、大山，然後去『挑戰』。如果有哪邊聽來說數學不用練習，那我這裡鄭重告訴你，講得人要麻自己是天才，要麻就是騙你。要熟練一種技巧，會有時間很長、動作繁瑣的練習，樂器如是、自行車如是、數學亦如是。數學樸實無華，鍛鍊思考、充實內在、發揮想像，即使別人看不出來你思考的增長，我們還是多花點時間在內在成長，不要只做那些給別人看的華麗表演。
用游泳來比喻，游泳有幾個層次，分解動作、然後淺水游泳池、游泳池長泳，到海邊、河湖游泳。
我們練習數學題，特別是狀況題，大概在游泳池階段，練習之後，可以用在超市、在擺攤、在買樂透、在看報表時，就像出海游泳一樣，你可以盡情探索。
【卷首語】
一期一會：把每次都當成一生一次的相會，我們就各盡所能，好好地學。
同學們，不知道你們之後會學什麼樣的數學，會不會再遇到這樣的內容。這也許是你這輩子僅僅的那一次遇見這個主題的機會，以前沒有，以後可能也不會有。正確的方法是，上課要聽懂，下課或回家才可能自己練習，以後才有機會不用老師自主學習。
【破題】
一、調查：
首先，一人發一張小紙，一、從1-9的數字選一個寫上。二、從彩虹的七色裡面選一個顏色寫上。不要看別人、不要透露訊息。結果是：二有1個、三有2個、五有2個、六有1個、九有3個。
二、統計表：
很好，發小紙數字叫『調查』，這個答案揭曉的表格叫做『統計表』。
三、統計圖：
接下來作什麼圖好呢？同學說，長條圖。很好。畫出長條圖，叫做『統計圖』。圖怎麼畫，顏色怎麼配，這是個人美學。數學上只要求要清楚，表達上要求縱軸的刻度不能過度放大、也不能過度縮小，造成解讀上的誤解。這裡不能用『折線圖』喔～～
如果要表現比例，選某個數字的比例。要畫『餅圖』圓餅圖、圓圖（學生說的），先加總數=9，當分母。選每個數字的人數比例就算出來了，然後把一個圓的360度，切成9份，每份40度。於是就可以做出餅圖了。
四、機率：
用這餅圖當底面，如果你有120顆豆子，亂亂撒，在這圓的範圍裡亂撒。請問，你預計有幾顆會落入這個最大的扇形裡。
五、期望值：
120・3/9 = 40，預計有40顆。各位已經會機率3/9，還有期望值40。
六、排列：
我們請選綠色的同學到前面來坐一排。
第一個位置，三個人都可以選，有三種選法。不管選到誰，請就座。第二個位置，就只有兩個人可以選，有兩種選法，二選一，請就座，最後一個位置沒得選，就是剩下來的那位，一種選法。所以，總共有多少種可能的排列方法呢？
3・2・1 = 6
這個從3一路乘到1的算法，記作 3! 讀作『三階乘』。
那全班一起來，你們有十個人，有十個位置讓你們排一列。一樣，第一個位置有十種選法，10、第二個位置，剩下的九個人挑一個上來，9、以此類推，8 7 6 5 4 3 2 1 。從10一路乘到1。
寫作 10! （十階乘）
10! = 10・9・8・7・6・5・4・3・2・1
好了。這就是『排列』。
六、組合：
剛剛的綠色三人組，就給他們當成一種，誰來都是綠色。換句話說，他們交換是沒差的。那個剛剛的10!，就要除上交換（或重複）的3!。這就是『組合』。
【統計】－ 數據的取得與整理
我們講了調查的普查、抽樣，現在有了數據。要怎麼整理呢？
有離散的數據或是連續的數據，重點要看這些數據可不可以平均。
如果是離散的數據，像是『喜歡』『不喜歡』，這就去算幾個『喜歡』、幾個『不喜歡』、幾個『不置可否』，然後就可以做圓餅圖，看看這些人數佔的比例。
如果是連續的數據，就是那些平均有意義的數據，那就要分組。如果不分組，例如身高，同樣身高的人不多，你會發現每個數值都只有兩個人。因此，我們要分組，如果我們得到的數據顯示，最高的是185cm，最矮的是125cm，我們可以從125 cm - 185 cm 分六組，每10cm一組。當然，有時候讓作圖漂亮一些，會前後再加5cm，從120cm 每10cm一組，一直到190cm。我們取得一串數字，分組作表、作圖。然後求平均值。
分組數據的重點在這裡：分組之後，原始數據不能丟掉，但是，我們就以分組之後的數據來代表原來的數據。
例如，在120-130這組有三個，我們就當這三個最少是三個都120、最多是三個都129（130歸在 130-140那組）。前者是『下限』後者是『上限』，一般而言，我們就當這三個是中間值125。也就是有三個125cm高。我們以中間值代表該組，以這方式計算平均值。
（每組中間值・人數）的和 除以 每組人數的和（總人數）。這就是平均值。
這是分析數據的第一步。
【統計】－ 分佈情形
有了調查、原始數據、分組數據、作圖。
如何來解讀這統計圖呢？首先，是分佈。
假設，有個穿得西裝筆挺，口若懸河，現場還有一位有照的醫美專業皮膚科醫師，要來做個公司募資說明會。
他說要設立植髮專業公司，並且秀出這樣一張圖：某國男性55歲以上的頭髮數量分佈圖。
名額有限，一股一千萬。你是億萬富翁，你要投資幾股？
所以我們從這分佈圖裡，來瞧瞧平均數、眾數、中位數、四分位數等等，試著分析這些統計圖的意義。
【排列組合】－ 三種基本排列
處理排列組合的問題，就是設身處地地重複問題的過程：如果是你，你該怎麼做。
一、直線排列
兩個人坐兩個位子，兩種排法。三個人坐三個位子，六種排法。
那五個人做五個位置有幾種排列方式。第一個位置，你可以從五個人裡面選一個。第二個位置，只剩下四種選擇。如此下去，就是
5・4・3・3・1
這記作 5! 五階乘。
六個人坐六個位置，就是6!。算一下，其實沒多少。6・5・4・3・2・1=720。
二、圓形排列或圓桌排列
十個人坐圓桌、十道菜擺圓桌。主要關心的是這十個人的相對關係，做哪個位子倒是其次，換句話說，每一種排法，都可以轉十次。
十個人，第一個人有十種選法、第二個九種，以此類推：
10!
但是可以轉十次。所以是10!/10 = 9!
因此，N個人作圓形排列，就有(N-1)!排法。
三、環形排列
環狀排列，像是手環、項鍊、串珠。跟圓形差在環狀排列還可以翻轉一次。因此，就是圓形排列除以二。
N種串珠做環形排列，就有 (1/2)(N-1)!
【排列組合】－ 組合
數學裡的排列組合是要練習如何『數數』－什麼樣的事物當成是相同，可以互相代替，什麼是不一樣的，不可替換。
人，是不一樣的。黑白珠子，可以是一樣的。
如果有兩色珠子，要放到五個位置。該怎麼放呢？
全黑 1 種
四黑一白 5種
三黑二白 10種
二黑三白 10種 （跟三黑二白相同）
四白一黑 5種 （跟四黑一白相同）
全白 1種 （跟全黑一樣）
這個1, 5, 10, 10, 5, 1 有想到什麼？
巴斯卡三角形，所謂的二項式分佈（的係數）
【排列組合】－ 冰店
冰店老闆大放送，六種料任選三種一盤20元，照海限定。
選三種不一樣（不能重複的料），你有幾種選法？
紅、綠、粉，是6・5・4。但是順序不重要，不用排列。所以還要除掉 3 ´ 2 ´1 的排列。
這就成了 6・5・4/3・2・1 =20。
如果料很多，你跟老闆說，我超愛粉圓的，可以選三個一樣的嗎？老闆說可以。這樣有幾種選法？
這樣就成了，第一樣料6種選法、第二樣6種、第三樣還是6種。
就跟珠子一樣，6・6・6= 216。
這就是組合了。
冰店擴大營業，老闆增加成十種料，限時特價，你可以選四種，每種只限取一次，不能重複。
這就是 = 10!/4!(10-4)! 可以讀作C10選4
其實就是我們原來的算法：10・9・8・7/(4・3・2・1)
再來一個例子，我們要從八個人裡面，選五個當作空間球代表隊員。
那就是 =8!/5!(8-5)! = 8!/5!3!
把分母對調一下：8!/3!5! = 8!/3!(8-3)! 這是。
換句話說，選五個當代表隊員，其實跟選三個留下來是一樣的。說更白話一點，『從一百人裡面挑99個』跟『一百個人挑一個』其實是一樣的。
C的運算
= n!/k!(n-k)! 分母調換一下
= n!/(n-k)!k!
相異之物，可分辨之物，你會遇到C。
相同之物，不可分辨之物，就不會有這問題。
別忘記了，你有三大袋珠子，要排在七個位置，有3・3・3.... ・3，七個3相乘，就是3^7。
【排列組合】－ 數數
這世上沒有不可思議的事情，只存在可能存在之物，只發生可能發生之事。
——京極夏彥
數學沒有秘密，中學階段的排列組合是存在於整數的計數活動。什麼狀況之下，會把哪些當成是相同，又在什麼條件之下，哪些當成是不一樣的。這個弄清楚了，接著在心裡模擬狀況，就可以算出各種排列組合的數目了。
手邊有紅黃藍三種顏色的珠子，分別有七、五、三顆，共十五顆。現在要串成手環，請問可以串出幾種？這樣的問題，一層一層來看。
先是直線排列，再來呈圓形，最後在變成環形。
首先，直線排列怎麼算呢？
七顆紅色一樣、五顆黃色一樣、三顆藍色也一樣。這時候，先把珠子編號，讓這些珠子是可分辨的。於是你有紅1、紅2、一直到紅7，黃1、黃2、一直到黃5，藍色也是如此。這樣就成了十五顆排成直線。
15!
但是對每一種排列而言，紅色是可以互換的、黃色本身也是、藍色也是。所以把這些號碼塗掉，就相當於把同色互換。
於是就變成
15!/(7!5!3!)
圓形排列呢？除掉換位置15次
15!/(15・7!5!3!)
環形呢？是圓形的一半。
【排列組合】－ 整數解問題
x+y =9 有幾組正整數解？
這種正整數解，就要你算有幾個，要你算有幾個的數數問題，就會用到排列組合。最簡單的叫做『窮舉法』，把所有可能性，依照某種順序來計數。
正整數最小是1，所以就從 (1,8)(2,7).....(8,1) 共8種。
如果是問x+y < 9呢？這有另外一個名稱，叫做『線性規劃』，用座標畫起來，就是算那個三角範圍裡面的格子點。這要做什麼呢？例如，你每個月的零用錢有9美元（任何單位都可以），你要吃喝或者玩樂，加起來要小於9美元。那你要怎麼配置呢？
回到正整數解，窮舉法：x+y=2, 3, 4, 5....8 一個一個數。
如果是三個呢？
x+y+z=9
非負的整數，或者說 x,y,x屬於零跟自然數的聯集
先來窮舉法：
x,y = 0, z = 9，1。
y,z = 0, x = 9，1。
x,z = 0, y = 9，1。這類共有三種。
x = 0, y + z = 9，這是剛剛算過的8種。換成y = 0、z = 0，各有8種。這類有24種。
通通不是0，這是剛剛的28種。
總共是 3+24+28 = 55
換個問法，有紅黃藍三袋珠子，取9個排成一列，有幾種排法（接下來再兩步就是做手環了）。這跟 x+y+z=9 的問法是一樣的。
這類問題的解法，不知道是誰想出來的，總之還蠻聰明的。他在九個珠子中間，插入兩個隔板。在隔板左面的是紅色、中間的是黃色、右邊的是藍色珠子，變成11個珠子加2個隔板的排列。這就是 11!/(9!2!) = 11・10/2 = 55。
【排列組合】－經典問題
傳說排列組合問題，是來自印度。話說印度的香料超多種的，如果你的廚房有六種香料，每種一匙，可加可不加，那你可以配出幾種香料組。大家對香料可能沒什麼感覺，我們回到那個經典的台灣味數學題－剉冰店問題，你有六種料，一盤最多可以加三種，你可賣出幾種『口味』的冰。或是有個冰淇淋有六種口味，你可以挖三球，那你可以有多少種組合？
要注意的是問題的條件，全部都要不能重複、可以重複、可以兩球或一球又可以重複、可以兩球或一球但是不能重複。然後是模擬，想像你是店員，或是在吃到飽最後要去挖點心的那個時候。
如果你好好學，這方面已經超越柏拉圖了。歐幾里德整理了當時的幾何定理，加上他自己的堆導證明，成了幾何大全。柏拉圖是在歐幾里德之前的人，所以他懂的幾何，一定沒有歐幾里德多。希臘人多愛幾何啊！什麼都要用幾何來說明，數字，一定要標在數線上。像是有理數b/a，怎麼畫？很簡單，先拉出一條線，上面a等分，連回原來的單位長度一，每段都拉平行線、平行線，這就是(1/a)，接著用這個(1/a)畫畫畫畫b次，就是(b/a)。
與其說希臘人幾何很好，還不如說希臘人只會幾何。（啊？！）不要驚奇，因為他們沒有數字，沒有計算用的數字。他們用a, b 來代表1, 2。請問a+b要等於什麼？等於g。接著的羅馬，數學也沒有多好，你用羅馬數字那個IV, X，來試試加減乘除好了。我們要感謝印度人發明了現在用的數字，可記可計算。又感謝阿拉伯人將這套數字傳播到世界其他地方。有了數字，才能計算，才有代數，才有按部就班解題的方程式。
【排列組合】－少年小澤出任務
現在小澤住在棋盤方格式的街道的城市裡，從這裡要到那裡的圖書館讀書（約了涼子）。請問，不繞路、不迂迴，請問小澤他有幾種走法？
橫向（或東西向）道路有四段、縱向（或南北向）道路有三段，總共七段。換句話說，四橫三直，隨意排列。那就是7!/(4!3!) = 35。
好啦～～要出發的時候，來了一通電話。要小澤中間要經過商家去買有機蛋。（可以不要嗎？）不行，這是媽媽打來的。（好吧～～）
那就變成兩個組合，一田一日，一象一馬（竟然有同學聽得出這個梗）。
那就是
田：4!/(2!2!)
日：3!/(2!1!) 兩個相乘。
於是等於 6・3=18 種走法。
【集合】－ 數學的愛情
在排列組合與機率之間，我們講講『集合』，集合講的是關係。這在後面講條件機率時會用到。元素跟集合的關係有『屬於』或『不屬於』。集合跟集合之間的關係有『包含於』。兩個集合有交集也有聯集。還有一個什麼都沒有的『空集合』，這就像是數字裡面的『0』一樣，空集合又有包含在所有集合裡面。
我們舉些例子，像是小澤桌上的物品之集合、小珊卓上的物品之集合，他們有共同的叫做交集。兩桌合起來有哪些，同樣的只算一次，這是聯集。我們討論的範圍內所有的元素組合起來的就當作是全部或是宇集，自己以外的叫做補集。這裡就有像是互補的概念了，我跟你沒有交集，我們是互補的。
你可以用數學符號寫情書，或是寫分手信。像是『我心屬於你』，或是『你給我的感覺』，給個題目，解出來是『x=1, x=2, x=3』，這不是三個點，而是平面座標上的三條直線。或是解出來是『y=1, y=2』，這叫做，你我就像是兩條平行線。不過，投影幾何給了我們希望，因為平行線最後會交於一點。
有了這些簡單的概念，我們接著講機率、講條件機率，就會簡單多了。難得數學不用計算、不用解方程式、不用問角度。而且，如果是哲學系的人，你會用到這樣的數學邏輯。
【機率】 夜市的數學
處理不確定，但是有範圍、可能這樣可能那樣的事物，就會用到『機率』。像是（如果沒作弊的話）樂透、賭博、夜市彈珠台等等機率遊戲。給錢買汽水，這沒有機率問題。玩遊戲，中獎得汽水，這是機率遊戲。
擲硬幣，硬幣有兩面，正面或反面（先講好哪邊是正面哪邊是反面）。試驗一百次，得到正面48次、反面52次。出現正面的機率是0.48、出現反面的機率是0.52，這是統計的機率。
機率可以用來預測，公平的硬幣，意思是正面跟反面出現的機率一樣。那就是一個一半，各自0.5。玩1000次，預期可能出現幾次正面？ 1000・0.5 = 500次。這是期望值。再換個例子，擲骰子。公平沒作弊的骰子，每面出現的機率一樣，總共有六種結果，所以各自是1/6。擲三次呢？就有6・6・6 六的三次方，有216種可能。那麼『兩次一點，一次三點』的機率有多少？
運用我們之前學的排列組合，算出『兩次一點，一次三點』的組合數，除以總共的可能數。這可以求得 3/216 = 1/72。
也可以這樣看，擲出1的機率有(1/6)、3也是(1/6)，可是順序可以變出三種。所以機率是3(1/6)(1/6)(1/6) 也是1/72。
【機率】 愛心老闆小澤的經營之道
為什麼要算機率？沒有要教大家縱橫賭場，成為賭神2.0。但是如果有擺攤位，玩遊戲，那麼遊戲、獎品、還有門票要怎麼設計，才不會一開店就注定賠錢，人氣愈旺，賠得愈慘。
小澤征二是個有愛心的老闆（沒開店的時候會去指揮一下樂團）。他在店裡設計了一種擲骰子遊戲，擲三次都出現紅色點點（就是一點或是四點）就算中獎，獎品是成本價20元的汽水。
問題是，那玩一次要收多少錢？就是門票訂多少？
（看吧～遊戲：擲骰子、獎品：汽水、門票要多少）
於是我們要算一下這個中獎機率是多少。
紅色的排列有幾種111、114、441、444。各自出現的次數是1, 3, 3, 1。總共有8種。（竟然這麼少！）
機率就是 8/216 = 1/27 （低於1/25=0.04)
中獎的期望值就是20 ´ 1/27，比1還小，大概是0.74。換句話說，每次收一元，你就會賺錢。根據經驗（這是統計），每個月平均有300人次來玩這遊戲。你預期可以透過這遊戲賺多少錢？
300 ・(1-0.74) = 77.8 （777循環）
這時候你可以做一件事，整個放大10倍，用200塊的獎品，每次10元。你每個月就可以收777元了。而且你這愛心老闆很有愛心，獎品是門票的20倍。這很大耶！
有愛心老闆，就有黑心老闆。黑心老闆小澤三點三（不要笑，用數字當名字的，在日本有山本五十六，還有清朝來台官員愛新覺羅五十七。）
小澤三點三在另一個庄頭也開店，盤算了一下，門票10元應該還有得賺，獎品20是門票兩倍。那可以賺多少？
300・(10 - 0.74) > 300・9 =2700。
小澤三點三要怎麼賺錢？資訊不流通的時候，他有機會賺錢。當庄頭的人知道有另一家小澤征二愛心商店，就很少人會花10元去玩這遊戲了。
【機率】商道－店家的四個數字
在機率的世界裡，有個『大數法則』(law of large numbers) 意思是說，實驗愈多次、樣本數愈大，結果就會愈符合理論的預測－統計的機率愈接近理論的機率。
簡單講，擲硬幣一次，不是正面就是反面，不會有二分之一正面這種情形，但是擲個一百次，就會出現接近五十次正面、五十次反面的情形。統計出來的正面機率，就會接近二分之一。
繼續我們昨天開店的議題－我們的商道，店家需要知道的幾個數字：
遊戲的中獎率P、獎品的價格R（不是價值喔～）、每回的門票T、固定成本C。
如果固定成本是以月來計算，那麼假設每個月來玩的人次是N。那就會有這樣的關係：
NT > NPR + C
N(T-PR) > C
換句話說，每一次的門票就要大於發出去獎品的期望值 (T-PR >0)，不然你注定賠錢，來得愈多賠得愈慘。如果你發現店家的 T-PR <0 ，而且還開得很高興，他們一定有其他資金挹注，這遊戲只是噱頭，不是他們的收入來源。
機率、獎品、門票、固定成本，這四個要好好算喔～～
接著我們來看另一家愛心商店，以以之家。他們獎品有了、門票也有了。請問要設定什麼遊戲呢？同學說，在箱子裡有九黑一黃，抽十次都沒抽到黃的就中獎。這中獎機率是(9/10)10。這很高嗎？
其實這很低的。你們開了黑心商店了。我們實際讓同學來抽，還真的撐不到十次就槓龜。
以這麼低的中獎率，一天十人次，一個月300人次。你靠這遊戲就月入7800了。
【機率】 抽籤順序與手氣
先抽後抽有差嗎？
如果抽完籤再放回，同學異口同聲說沒差。
那如果籤抽完，可以帶回家做紀念呢？先抽後抽有差嗎？
有。
如果你說有，那下一題就會問，差在哪裡？（這跟衛生紙廣告不一樣喔！竟然有孩子知道這個梗，還是真是復古啊！）
就你那個九黑一黃的箱子好了。
我們要怎麼算呢？假裝我替你們抽好了，抽第一張就擺在第一個位子、第二張就擺在第二個位子、以此類推。總共有十種擺法，每種的機率都一樣。所以先抽後抽機率是一樣的。
老師，可是壓力，心情壓力不一樣啊～
喔～～那是邊抽邊開講才會有壓力。
抽完再一起揭曉呢？壓力比較小了吧？先講泰國當兵抽籤的事情，現在只剩兩張，而且有一張中籤、一張沒事，只剩下兩個人沒抽，你要先抽還是讓另一個人抽？
當然是先抽啊！這樣感覺命運是自己掌握的。沒抽到沒抽到，就只能怪自己。可是他也這樣想啊！
這時候我們就要講『手氣』，你們相信有手氣嗎？
在六十年前，生四五個小孩是很常見的。如果有個媽媽已經生了三個女兒，現在媽媽又懷孕了，那你覺得第四個是兒子還是女兒？如果前面是三個兒子，那你覺得第四個是兒子還是女兒？
（有人說兒子，有人說女兒，有人說媽媽一定期待女兒或兒子）
如果是擲銅板呢？現在已經出現三正面，你覺得第四次是正面還是反面？
（有正有反有不知道。）
好，重點在這裡，講到人的心情，跟講到物的心情，大家是不一樣的。講銅板，你們很快就講正面或反面。講到生小孩，你們想得比較久一點。有發現了嗎？
如果是機率問題，每次都是二分之一，會覺得正面久了要反面，這是錯誤的期待啊！
【最終章】 －游泳池階段
拿些題目來當我們練習的游泳池，模擬你們園遊會市集擺攤，才不會設錯定價白忙一場。你有可能學到教訓。可是，如果你不知道這背後的數學運作，你永遠只是被教訓，從教訓裡面，你學不到任何東西。即使是賺錢，你也無法累積賺錢經驗的。
現在教育講求素養，走向生活，就先會描寫一段情境，然後問題就在裡面。落落長？沒錯，生活從來就不是簡單問題。
看題有幾個層次：
一、看懂情境嗎？（例如是超市、預算、零用錢、碳足跡）
二、知道在問什麼嗎？
三、知道在問什麼，有辨法轉成數學式嗎？
四、轉成數學式後，會解嗎？
五、會解數學式後，有解對嗎？
六、解出來之後，要選對答案喔！
情境題，例如發牌問題，題目會先介紹紙牌有哪些花色、各有幾張、這個紙牌遊戲怎麼玩。碳足跡標示，會先講一段這是怎麼標示的。總之，現在的趨勢是減輕大家背誦的負擔，只要有基本閱讀能力，你就可以從題目中理解現在的狀況，讀懂在玩什麼遊戲。
知道什麼狀況了，那題目在問什麼？
這是閱讀能力大考驗。閱讀能力怎麼提升？多讀多寫，讀完之後，問問自己作者在寫什麼。接下來，把問題轉成數學式。這裡我大大推薦代數。把問的未知數，設定成x y。一個一個條件列出來，一一換成數學式，然後是解代數問題。在中學階段，代數就像是老實的步行者，一步一步走到目的地。就跟你們熟悉的爬山一樣，是可以一步一步練習得來。
好好地在游泳池練習吧！（除非你是天才，不用在游泳池裡練習，直接在海裡游。）
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