2022年11月7日 星期一
閱讀的力量
在三週前的課堂上，對學生出個小測驗，來看看閱讀對行為的影響。題目是這樣安排的，先讀一段文字，說是要做閱讀測驗，請同學們寫出該段文字的主題。實際上，他們被我分成兩組：
第一組：大一大三（共31人），讀的是那篇主題會是『人類之愛』的一段。
People who have an insecure attachment style, involving a high need for validation and preoccupation with relationship partners, endorse more mania love, while those who are uncomfortable with intimacy and closeness do not endorse eros love. No matter the differences in the way love is experienced, one thing remains common for all: we as humans are social animals who have a deep fascination for it.
https://this.deakin.edu.au/society/what-is-love
Life might be the random outcome of natural circumstances in a soup of chemicals on Earth, we might acquire a new meaning for it thanks to a communication from another civilization. If we ever establish contact with another intelligent species, the new perspective that it will bring could change our outlook. The main benefit from an encounter with superior beings would be the opportunity to ask them the fundamental question: “What’s the meaning of life?”
https://blogs.scientificamerican.com/observations/can-the-universe-provide-us-with-the-meaning-of-life/
這是frame effect 我們在賺錢跟賠錢時的行為是不一樣的。『人類之愛』組要認賠殺出的多。
這結果需要解釋。
『太空冒險組』在第1 題裡面，確定賺3000這選項很有吸引力，有一點小風險但賺4000就興趣缺缺（77:23）。可是到了第9題，穩賺50少人理，千分之一機會賺50000趨之若鶩（29:71）。他們對高報酬超有感，對機率低沒有知覺。
『人類之愛組』對於第3題賠錢的時候，老實的認賠比『太空組』的多。在第9題裡，那個50000高報酬，吸引力並不大。
看來，要戒賭、戒投機、戒樂透的方法，就是多讀些『人間有愛』的文章。如果要人玩那種機率超低的遊戲，就要讓他先讀些『太空探險』的文章，或是安排一些探險遊戲，然後翻出底牌，讓他投資高報酬（也高風險）的產品。
第一組：大一大三（共31人），讀的是那篇主題會是『人類之愛』的一段。
People who have an insecure attachment style, involving a high need for validation and preoccupation with relationship partners, endorse more mania love, while those who are uncomfortable with intimacy and closeness do not endorse eros love. No matter the differences in the way love is experienced, one thing remains common for all: we as humans are social animals who have a deep fascination for it.
https://this.deakin.edu.au/society/what-is-love
第二組：大二大四（共34人），讀的是那篇到太空找外星人問生命意義的一段。
Life might be the random outcome of natural circumstances in a soup of chemicals on Earth, we might acquire a new meaning for it thanks to a communication from another civilization. If we ever establish contact with another intelligent species, the new perspective that it will bring could change our outlook. The main benefit from an encounter with superior beings would be the opportunity to ask them the fundamental question: “What’s the meaning of life?”
https://blogs.scientificamerican.com/observations/can-the-universe-provide-us-with-the-meaning-of-life/
接著做同樣的10題選擇題，十分鐘內答完。有些結果差不多，差比較多的在這裡：
1. 這是certainty effect 常用的題目。（偏好確定答案在第二組比較多）
這是frame effect 我們在賺錢跟賠錢時的行為是不一樣的。『人類之愛』組要認賠殺出的多。
驚！讀到太空探險的，真的比較追求風險。
這結果需要解釋。
『太空冒險組』在第1 題裡面，確定賺3000這選項很有吸引力，有一點小風險但賺4000就興趣缺缺（77:23）。可是到了第9題，穩賺50少人理，千分之一機會賺50000趨之若鶩（29:71）。他們對高報酬超有感，對機率低沒有知覺。
『人類之愛組』對於第3題賠錢的時候，老實的認賠比『太空組』的多。在第9題裡，那個50000高報酬，吸引力並不大。
看來，要戒賭、戒投機、戒樂透的方法，就是多讀些『人間有愛』的文章。如果要人玩那種機率超低的遊戲，就要讓他先讀些『太空探險』的文章，或是安排一些探險遊戲，然後翻出底牌，讓他投資高報酬（也高風險）的產品。
2022年10月21日 星期五
022 秋學季 G9 第二主課程－機率統計、排列組合
我們要在十三次上課，21 小時裡面講完機率、統計、排列、組合。一般會分成『機率統計』『排列組合』兩個主題來講，這中間還會加入一個跟邏輯有關的『集合論』，這給十五歲的孩子一次很好的思考練習。
就跟大家學腳踏車一樣，要練才會騎，會騎之後，從十公尺、一公里、十公里，練習再練習。學游泳也是如此，除非你很有天份，沒有那種教練講完，你直接跳下水就會游了。各種學習都是如此，講完就會了的天才很少。七年級以後，你們去山林、去海洋都也要事先練習，甚至半年前就開始爬小山、大山，然後去『挑戰』。如果有哪邊聽來說數學不用練習，那我這裡鄭重告訴你，講得人要麻自己是天才，要麻就是騙你。要熟練一種技巧，會有時間很長、動作繁瑣的練習，樂器如是、自行車如是、數學亦如是。數學樸實無華，鍛鍊思考、充實內在、發揮想像，即使別人看不出來你思考的增長，我們還是多花點時間在內在成長，不要只做那些給別人看的華麗表演。
用游泳來比喻，游泳有幾個層次，分解動作、然後淺水游泳池、游泳池長泳，到海邊、河湖游泳。
我們練習數學題，特別是狀況題，大概在游泳池階段，練習之後，可以用在超市、在擺攤、在買樂透、在看報表時，就像出海游泳一樣，你可以盡情探索。
【卷首語】
一期一會：把每次都當成一生一次的相會，我們就各盡所能，好好地學。
同學們，不知道你們之後會學什麼樣的數學，會不會再遇到這樣的內容。這也許是你這輩子僅僅的那一次遇見這個主題的機會，以前沒有，以後可能也不會有。正確的方法是，上課要聽懂，下課或回家才可能自己練習，以後才有機會不用老師自主學習。
【破題】
一、調查：
首先，一人發一張小紙，一、從1-9的數字選一個寫上。二、從彩虹的七色裡面選一個顏色寫上。不要看別人、不要透露訊息。結果是：二有1個、三有2個、五有2個、六有1個、九有3個。
二、統計表：
很好，發小紙數字叫『調查』，這個答案揭曉的表格叫做『統計表』。
三、統計圖：
接下來作什麼圖好呢？同學說，長條圖。很好。畫出長條圖，叫做『統計圖』。圖怎麼畫，顏色怎麼配，這是個人美學。數學上只要求要清楚，表達上要求縱軸的刻度不能過度放大、也不能過度縮小，造成解讀上的誤解。這裡不能用『折線圖』喔～～
如果要表現比例，選某個數字的比例。要畫『餅圖』圓餅圖、圓圖（學生說的），先加總數=9，當分母。選每個數字的人數比例就算出來了，然後把一個圓的360度，切成9份，每份40度。於是就可以做出餅圖了。
四、機率：
用這餅圖當底面，如果你有120顆豆子，亂亂撒，在這圓的範圍裡亂撒。請問，你預計有幾顆會落入這個最大的扇形裡。
五、期望值：
120・3/9 = 40，預計有40顆。各位已經會機率3/9，還有期望值40。
六、排列：
我們請選綠色的同學到前面來坐一排。
第一個位置，三個人都可以選，有三種選法。不管選到誰，請就座。第二個位置，就只有兩個人可以選，有兩種選法，二選一，請就座，最後一個位置沒得選，就是剩下來的那位，一種選法。所以，總共有多少種可能的排列方法呢？
3・2・1 = 6
這個從3一路乘到1的算法，記作 3! 讀作『三階乘』。
那全班一起來，你們有十個人，有十個位置讓你們排一列。一樣，第一個位置有十種選法，10、第二個位置，剩下的九個人挑一個上來，9、以此類推，8 7 6 5 4 3 2 1 。從10一路乘到1。
寫作 10! （十階乘）
10! = 10・9・8・7・6・5・4・3・2・1
好了。這就是『排列』。
六、組合：
剛剛的綠色三人組，就給他們當成一種，誰來都是綠色。換句話說，他們交換是沒差的。那個剛剛的10!，就要除上交換（或重複）的3!。這就是『組合』。
【統計】－ 數據的取得與整理
我們講了調查的普查、抽樣，現在有了數據。要怎麼整理呢？
有離散的數據或是連續的數據，重點要看這些數據可不可以平均。
如果是離散的數據，像是『喜歡』『不喜歡』，這就去算幾個『喜歡』、幾個『不喜歡』、幾個『不置可否』，然後就可以做圓餅圖，看看這些人數佔的比例。
如果是連續的數據，就是那些平均有意義的數據，那就要分組。如果不分組，例如身高，同樣身高的人不多，你會發現每個數值都只有兩個人。因此，我們要分組，如果我們得到的數據顯示，最高的是185cm，最矮的是125cm，我們可以從125 cm - 185 cm 分六組，每10cm一組。當然，有時候讓作圖漂亮一些，會前後再加5cm，從120cm 每10cm一組，一直到190cm。我們取得一串數字，分組作表、作圖。然後求平均值。
分組數據的重點在這裡：分組之後，原始數據不能丟掉，但是，我們就以分組之後的數據來代表原來的數據。
例如，在120-130這組有三個，我們就當這三個最少是三個都120、最多是三個都129（130歸在 130-140那組）。前者是『下限』後者是『上限』，一般而言，我們就當這三個是中間值125。也就是有三個125cm高。我們以中間值代表該組，以這方式計算平均值。
（每組中間值・人數）的和 除以 每組人數的和（總人數）。這就是平均值。
這是分析數據的第一步。
【統計】－ 分佈情形
有了調查、原始數據、分組數據、作圖。
如何來解讀這統計圖呢？首先，是分佈。
小澤三點三要怎麼賺錢？資訊不流通的時候，他有機會賺錢。當庄頭的人知道有另一家小澤征二愛心商店，就很少人會花10元去玩這遊戲了。
【機率】商道－店家的四個數字
在機率的世界裡，有個『大數法則』(law of large numbers) 意思是說，實驗愈多次、樣本數愈大，結果就會愈符合理論的預測－統計的機率愈接近理論的機率。
簡單講，擲硬幣一次，不是正面就是反面，不會有二分之一正面這種情形，但是擲個一百次，就會出現接近五十次正面、五十次反面的情形。統計出來的正面機率，就會接近二分之一。
繼續我們昨天開店的議題－我們的商道，店家需要知道的幾個數字：
遊戲的中獎率P、獎品的價格R（不是價值喔～）、每回的門票T、固定成本C。
如果固定成本是以月來計算，那麼假設每個月來玩的人次是N。那就會有這樣的關係：
NT > NPR + C
N(T-PR) > C
換句話說，每一次的門票就要大於發出去獎品的期望值 (T-PR >0)，不然你注定賠錢，來得愈多賠得愈慘。如果你發現店家的 T-PR <0 ，而且還開得很高興，他們一定有其他資金挹注，這遊戲只是噱頭，不是他們的收入來源。
機率、獎品、門票、固定成本，這四個要好好算喔～～
接著我們來看另一家愛心商店，以以之家。他們獎品有了、門票也有了。請問要設定什麼遊戲呢？同學說，在箱子裡有九黑一黃，抽十次都沒抽到黃的就中獎。這中獎機率是(9/10)10。這很高嗎？
其實這很低的。你們開了黑心商店了。我們實際讓同學來抽，還真的撐不到十次就槓龜。
以這麼低的中獎率，一天十人次，一個月300人次。你靠這遊戲就月入7800了。
【機率】 抽籤順序與手氣
先抽後抽有差嗎？
如果抽完籤再放回，同學異口同聲說沒差。
那如果籤抽完，可以帶回家做紀念呢？先抽後抽有差嗎？
就跟大家學腳踏車一樣，要練才會騎，會騎之後，從十公尺、一公里、十公里，練習再練習。學游泳也是如此，除非你很有天份，沒有那種教練講完，你直接跳下水就會游了。各種學習都是如此，講完就會了的天才很少。七年級以後，你們去山林、去海洋都也要事先練習，甚至半年前就開始爬小山、大山，然後去『挑戰』。如果有哪邊聽來說數學不用練習，那我這裡鄭重告訴你，講得人要麻自己是天才，要麻就是騙你。要熟練一種技巧，會有時間很長、動作繁瑣的練習，樂器如是、自行車如是、數學亦如是。數學樸實無華，鍛鍊思考、充實內在、發揮想像，即使別人看不出來你思考的增長，我們還是多花點時間在內在成長，不要只做那些給別人看的華麗表演。
用游泳來比喻，游泳有幾個層次，分解動作、然後淺水游泳池、游泳池長泳，到海邊、河湖游泳。
我們練習數學題，特別是狀況題，大概在游泳池階段，練習之後，可以用在超市、在擺攤、在買樂透、在看報表時，就像出海游泳一樣，你可以盡情探索。
【卷首語】
一期一會：把每次都當成一生一次的相會，我們就各盡所能，好好地學。
同學們，不知道你們之後會學什麼樣的數學，會不會再遇到這樣的內容。這也許是你這輩子僅僅的那一次遇見這個主題的機會，以前沒有，以後可能也不會有。正確的方法是，上課要聽懂，下課或回家才可能自己練習，以後才有機會不用老師自主學習。
【破題】
一、調查：
首先，一人發一張小紙，一、從1-9的數字選一個寫上。二、從彩虹的七色裡面選一個顏色寫上。不要看別人、不要透露訊息。結果是：二有1個、三有2個、五有2個、六有1個、九有3個。
二、統計表：
很好，發小紙數字叫『調查』，這個答案揭曉的表格叫做『統計表』。
三、統計圖：
接下來作什麼圖好呢？同學說，長條圖。很好。畫出長條圖，叫做『統計圖』。圖怎麼畫，顏色怎麼配，這是個人美學。數學上只要求要清楚，表達上要求縱軸的刻度不能過度放大、也不能過度縮小，造成解讀上的誤解。這裡不能用『折線圖』喔～～
如果要表現比例，選某個數字的比例。要畫『餅圖』圓餅圖、圓圖（學生說的），先加總數=9，當分母。選每個數字的人數比例就算出來了，然後把一個圓的360度，切成9份，每份40度。於是就可以做出餅圖了。
四、機率：
用這餅圖當底面，如果你有120顆豆子，亂亂撒，在這圓的範圍裡亂撒。請問，你預計有幾顆會落入這個最大的扇形裡。
五、期望值：
120・3/9 = 40，預計有40顆。各位已經會機率3/9，還有期望值40。
六、排列：
我們請選綠色的同學到前面來坐一排。
第一個位置，三個人都可以選，有三種選法。不管選到誰，請就座。第二個位置，就只有兩個人可以選，有兩種選法，二選一，請就座，最後一個位置沒得選，就是剩下來的那位，一種選法。所以，總共有多少種可能的排列方法呢？
3・2・1 = 6
這個從3一路乘到1的算法，記作 3! 讀作『三階乘』。
那全班一起來，你們有十個人，有十個位置讓你們排一列。一樣，第一個位置有十種選法，10、第二個位置，剩下的九個人挑一個上來，9、以此類推，8 7 6 5 4 3 2 1 。從10一路乘到1。
寫作 10! （十階乘）
10! = 10・9・8・7・6・5・4・3・2・1
好了。這就是『排列』。
六、組合：
剛剛的綠色三人組，就給他們當成一種，誰來都是綠色。換句話說，他們交換是沒差的。那個剛剛的10!，就要除上交換（或重複）的3!。這就是『組合』。
【統計】－ 數據的取得與整理
我們講了調查的普查、抽樣，現在有了數據。要怎麼整理呢？
有離散的數據或是連續的數據，重點要看這些數據可不可以平均。
如果是離散的數據，像是『喜歡』『不喜歡』，這就去算幾個『喜歡』、幾個『不喜歡』、幾個『不置可否』，然後就可以做圓餅圖，看看這些人數佔的比例。
如果是連續的數據，就是那些平均有意義的數據，那就要分組。如果不分組，例如身高，同樣身高的人不多，你會發現每個數值都只有兩個人。因此，我們要分組，如果我們得到的數據顯示，最高的是185cm，最矮的是125cm，我們可以從125 cm - 185 cm 分六組，每10cm一組。當然，有時候讓作圖漂亮一些，會前後再加5cm，從120cm 每10cm一組，一直到190cm。我們取得一串數字，分組作表、作圖。然後求平均值。
分組數據的重點在這裡：分組之後，原始數據不能丟掉，但是，我們就以分組之後的數據來代表原來的數據。
例如，在120-130這組有三個，我們就當這三個最少是三個都120、最多是三個都129（130歸在 130-140那組）。前者是『下限』後者是『上限』，一般而言，我們就當這三個是中間值125。也就是有三個125cm高。我們以中間值代表該組，以這方式計算平均值。
（每組中間值・人數）的和 除以 每組人數的和（總人數）。這就是平均值。
這是分析數據的第一步。
【統計】－ 分佈情形
有了調查、原始數據、分組數據、作圖。
如何來解讀這統計圖呢？首先，是分佈。
假設，有個穿得西裝筆挺，口若懸河，現場還有一位有照的醫美專業皮膚科醫師，要來做個公司募資說明會。
他說要設立植髮專業公司，並且秀出這樣一張圖：某國男性55歲以上的頭髮數量分佈圖。
名額有限，一股一千萬。你是億萬富翁，你要投資幾股？
所以我們從這分佈圖裡，來瞧瞧平均數、眾數、中位數、四分位數等等，試著分析這些統計圖的意義。
【排列組合】－ 三種基本排列
處理排列組合的問題，就是設身處地地重複問題的過程：如果是你，你該怎麼做。
一、直線排列
兩個人坐兩個位子，兩種排法。三個人坐三個位子，六種排法。
那五個人做五個位置有幾種排列方式。第一個位置，你可以從五個人裡面選一個。第二個位置，只剩下四種選擇。如此下去，就是
5・4・3・3・1
這記作 5! 五階乘。
六個人坐六個位置，就是6!。算一下，其實沒多少。6・5・4・3・2・1=720。
二、圓形排列或圓桌排列
十個人坐圓桌、十道菜擺圓桌。主要關心的是這十個人的相對關係，做哪個位子倒是其次，換句話說，每一種排法，都可以轉十次。
十個人，第一個人有十種選法、第二個九種，以此類推：
10!
但是可以轉十次。所以是10!/10 = 9!
因此，N個人作圓形排列，就有(N-1)!排法。
三、環形排列
環狀排列，像是手環、項鍊、串珠。跟圓形差在環狀排列還可以翻轉一次。因此，就是圓形排列除以二。
N種串珠做環形排列，就有 (1/2)(N-1)!
【排列組合】－ 組合
數學裡的排列組合是要練習如何『數數』－什麼樣的事物當成是相同，可以互相代替，什麼是不一樣的，不可替換。
人，是不一樣的。黑白珠子，可以是一樣的。
如果有兩色珠子，要放到五個位置。該怎麼放呢？
全黑 1 種
四黑一白 5種
三黑二白 10種
二黑三白 10種 （跟三黑二白相同）
四白一黑 5種 （跟四黑一白相同）
全白 1種 （跟全黑一樣）
這個1, 5, 10, 10, 5, 1 有想到什麼？
巴斯卡三角形，所謂的二項式分佈（的係數）
【排列組合】－ 冰店
冰店老闆大放送，六種料任選三種一盤20元，照海限定。
選三種不一樣（不能重複的料），你有幾種選法？
紅、綠、粉，是6・5・4。但是順序不重要，不用排列。所以還要除掉 3 ´ 2 ´1 的排列。
這就成了 6・5・4/3・2・1 =20。
如果料很多，你跟老闆說，我超愛粉圓的，可以選三個一樣的嗎？老闆說可以。這樣有幾種選法？
這樣就成了，第一樣料6種選法、第二樣6種、第三樣還是6種。
就跟珠子一樣，6・6・6= 216。
這就是組合了。
冰店擴大營業，老闆增加成十種料，限時特價，你可以選四種，每種只限取一次，不能重複。
這就是 = 10!/4!(10-4)! 可以讀作C10選4
其實就是我們原來的算法：10・9・8・7/(4・3・2・1)
再來一個例子，我們要從八個人裡面，選五個當作空間球代表隊員。
那就是 =8!/5!(8-5)! = 8!/5!3!
把分母對調一下：8!/3!5! = 8!/3!(8-3)! 這是。
換句話說，選五個當代表隊員，其實跟選三個留下來是一樣的。說更白話一點，『從一百人裡面挑99個』跟『一百個人挑一個』其實是一樣的。
C的運算
= n!/k!(n-k)! 分母調換一下
= n!/(n-k)!k!
相異之物，可分辨之物，你會遇到C。
相同之物，不可分辨之物，就不會有這問題。
別忘記了，你有三大袋珠子，要排在七個位置，有3・3・3.... ・3，七個3相乘，就是3^7。
【排列組合】－ 數數
這世上沒有不可思議的事情，只存在可能存在之物，只發生可能發生之事。
——京極夏彥
數學沒有秘密，中學階段的排列組合是存在於整數的計數活動。什麼狀況之下，會把哪些當成是相同，又在什麼條件之下，哪些當成是不一樣的。這個弄清楚了，接著在心裡模擬狀況，就可以算出各種排列組合的數目了。
手邊有紅黃藍三種顏色的珠子，分別有七、五、三顆，共十五顆。現在要串成手環，請問可以串出幾種？這樣的問題，一層一層來看。
先是直線排列，再來呈圓形，最後在變成環形。
首先，直線排列怎麼算呢？
七顆紅色一樣、五顆黃色一樣、三顆藍色也一樣。這時候，先把珠子編號，讓這些珠子是可分辨的。於是你有紅1、紅2、一直到紅7，黃1、黃2、一直到黃5，藍色也是如此。這樣就成了十五顆排成直線。
15!
但是對每一種排列而言，紅色是可以互換的、黃色本身也是、藍色也是。所以把這些號碼塗掉，就相當於把同色互換。
於是就變成
15!/(7!5!3!)
圓形排列呢？除掉換位置15次
15!/(15・7!5!3!)
環形呢？是圓形的一半。
【排列組合】－ 整數解問題
x+y =9 有幾組正整數解？
這種正整數解，就要你算有幾個，要你算有幾個的數數問題，就會用到排列組合。最簡單的叫做『窮舉法』，把所有可能性，依照某種順序來計數。
正整數最小是1，所以就從 (1,8)(2,7).....(8,1) 共8種。
如果是問x+y < 9呢？這有另外一個名稱，叫做『線性規劃』，用座標畫起來，就是算那個三角範圍裡面的格子點。這要做什麼呢？例如，你每個月的零用錢有9美元（任何單位都可以），你要吃喝或者玩樂，加起來要小於9美元。那你要怎麼配置呢？
回到正整數解，窮舉法：x+y=2, 3, 4, 5....8 一個一個數。
如果是三個呢？
x+y+z=9
非負的整數，或者說 x,y,x屬於零跟自然數的聯集
先來窮舉法：
x,y = 0, z = 9，1。
y,z = 0, x = 9，1。
x,z = 0, y = 9，1。這類共有三種。
x = 0, y + z = 9，這是剛剛算過的8種。換成y = 0、z = 0，各有8種。這類有24種。
通通不是0，這是剛剛的28種。
總共是 3+24+28 = 55
換個問法，有紅黃藍三袋珠子，取9個排成一列，有幾種排法（接下來再兩步就是做手環了）。這跟 x+y+z=9 的問法是一樣的。
這類問題的解法，不知道是誰想出來的，總之還蠻聰明的。他在九個珠子中間，插入兩個隔板。在隔板左面的是紅色、中間的是黃色、右邊的是藍色珠子，變成11個珠子加2個隔板的排列。這就是 11!/(9!2!) = 11・10/2 = 55。
【排列組合】－經典問題
傳說排列組合問題，是來自印度。話說印度的香料超多種的，如果你的廚房有六種香料，每種一匙，可加可不加，那你可以配出幾種香料組。大家對香料可能沒什麼感覺，我們回到那個經典的台灣味數學題－剉冰店問題，你有六種料，一盤最多可以加三種，你可賣出幾種『口味』的冰。或是有個冰淇淋有六種口味，你可以挖三球，那你可以有多少種組合？
要注意的是問題的條件，全部都要不能重複、可以重複、可以兩球或一球又可以重複、可以兩球或一球但是不能重複。然後是模擬，想像你是店員，或是在吃到飽最後要去挖點心的那個時候。
如果你好好學，這方面已經超越柏拉圖了。歐幾里德整理了當時的幾何定理，加上他自己的堆導證明，成了幾何大全。柏拉圖是在歐幾里德之前的人，所以他懂的幾何，一定沒有歐幾里德多。希臘人多愛幾何啊！什麼都要用幾何來說明，數字，一定要標在數線上。像是有理數b/a，怎麼畫？很簡單，先拉出一條線，上面a等分，連回原來的單位長度一，每段都拉平行線、平行線，這就是(1/a)，接著用這個(1/a)畫畫畫畫b次，就是(b/a)。
與其說希臘人幾何很好，還不如說希臘人只會幾何。（啊？！）不要驚奇，因為他們沒有數字，沒有計算用的數字。他們用a, b 來代表1, 2。請問a+b要等於什麼？等於g。接著的羅馬，數學也沒有多好，你用羅馬數字那個IV, X，來試試加減乘除好了。我們要感謝印度人發明了現在用的數字，可記可計算。又感謝阿拉伯人將這套數字傳播到世界其他地方。有了數字，才能計算，才有代數，才有按部就班解題的方程式。
【排列組合】－少年小澤出任務
現在小澤住在棋盤方格式的街道的城市裡，從這裡要到那裡的圖書館讀書（約了涼子）。請問，不繞路、不迂迴，請問小澤他有幾種走法？
橫向（或東西向）道路有四段、縱向（或南北向）道路有三段，總共七段。換句話說，四橫三直，隨意排列。那就是7!/(4!3!) = 35。
好啦～～要出發的時候，來了一通電話。要小澤中間要經過商家去買有機蛋。（可以不要嗎？）不行，這是媽媽打來的。（好吧～～）
那就變成兩個組合，一田一日，一象一馬（竟然有同學聽得出這個梗）。
那就是
田：4!/(2!2!)
日：3!/(2!1!) 兩個相乘。
於是等於 6・3=18 種走法。
【集合】－ 數學的愛情
在排列組合與機率之間，我們講講『集合』，集合講的是關係。這在後面講條件機率時會用到。元素跟集合的關係有『屬於』或『不屬於』。集合跟集合之間的關係有『包含於』。兩個集合有交集也有聯集。還有一個什麼都沒有的『空集合』，這就像是數字裡面的『0』一樣，空集合又有包含在所有集合裡面。
我們舉些例子，像是小澤桌上的物品之集合、小珊卓上的物品之集合，他們有共同的叫做交集。兩桌合起來有哪些，同樣的只算一次，這是聯集。我們討論的範圍內所有的元素組合起來的就當作是全部或是宇集，自己以外的叫做補集。這裡就有像是互補的概念了，我跟你沒有交集，我們是互補的。
你可以用數學符號寫情書，或是寫分手信。像是『我心屬於你』，或是『你給我的感覺』，給個題目，解出來是『x=1, x=2, x=3』，這不是三個點，而是平面座標上的三條直線。或是解出來是『y=1, y=2』，這叫做，你我就像是兩條平行線。不過，投影幾何給了我們希望，因為平行線最後會交於一點。
有了這些簡單的概念，我們接著講機率、講條件機率，就會簡單多了。難得數學不用計算、不用解方程式、不用問角度。而且，如果是哲學系的人，你會用到這樣的數學邏輯。
【機率】 夜市的數學
處理不確定，但是有範圍、可能這樣可能那樣的事物，就會用到『機率』。像是（如果沒作弊的話）樂透、賭博、夜市彈珠台等等機率遊戲。給錢買汽水，這沒有機率問題。玩遊戲，中獎得汽水，這是機率遊戲。
擲硬幣，硬幣有兩面，正面或反面（先講好哪邊是正面哪邊是反面）。試驗一百次，得到正面48次、反面52次。出現正面的機率是0.48、出現反面的機率是0.52，這是統計的機率。
機率可以用來預測，公平的硬幣，意思是正面跟反面出現的機率一樣。那就是一個一半，各自0.5。玩1000次，預期可能出現幾次正面？ 1000・0.5 = 500次。這是期望值。再換個例子，擲骰子。公平沒作弊的骰子，每面出現的機率一樣，總共有六種結果，所以各自是1/6。擲三次呢？就有6・6・6 六的三次方，有216種可能。那麼『兩次一點，一次三點』的機率有多少？
運用我們之前學的排列組合，算出『兩次一點，一次三點』的組合數，除以總共的可能數。這可以求得 3/216 = 1/72。
也可以這樣看，擲出1的機率有(1/6)、3也是(1/6)，可是順序可以變出三種。所以機率是3(1/6)(1/6)(1/6) 也是1/72。
【機率】 愛心老闆小澤的經營之道
為什麼要算機率？沒有要教大家縱橫賭場，成為賭神2.0。但是如果有擺攤位，玩遊戲，那麼遊戲、獎品、還有門票要怎麼設計，才不會一開店就注定賠錢，人氣愈旺，賠得愈慘。
小澤征二是個有愛心的老闆（沒開店的時候會去指揮一下樂團）。他在店裡設計了一種擲骰子遊戲，擲三次都出現紅色點點（就是一點或是四點）就算中獎，獎品是成本價20元的汽水。
問題是，那玩一次要收多少錢？就是門票訂多少？
（看吧～遊戲：擲骰子、獎品：汽水、門票要多少）
於是我們要算一下這個中獎機率是多少。
紅色的排列有幾種111、114、441、444。各自出現的次數是1, 3, 3, 1。總共有8種。（竟然這麼少！）
機率就是 8/216 = 1/27 （低於1/25=0.04)
中獎的期望值就是20 ´ 1/27，比1還小，大概是0.74。換句話說，每次收一元，你就會賺錢。根據經驗（這是統計），每個月平均有300人次來玩這遊戲。你預期可以透過這遊戲賺多少錢？
300 ・(1-0.74) = 77.8 （777循環）
這時候你可以做一件事，整個放大10倍，用200塊的獎品，每次10元。你每個月就可以收777元了。而且你這愛心老闆很有愛心，獎品是門票的20倍。這很大耶！
有愛心老闆，就有黑心老闆。黑心老闆小澤三點三（不要笑，用數字當名字的，在日本有山本五十六，還有清朝來台官員愛新覺羅五十七。）
小澤三點三在另一個庄頭也開店，盤算了一下，門票10元應該還有得賺，獎品20是門票兩倍。那可以賺多少？
300・(10 - 0.74) > 300・9 =2700。
他說要設立植髮專業公司，並且秀出這樣一張圖：某國男性55歲以上的頭髮數量分佈圖。
名額有限，一股一千萬。你是億萬富翁，你要投資幾股？
所以我們從這分佈圖裡，來瞧瞧平均數、眾數、中位數、四分位數等等，試著分析這些統計圖的意義。
【排列組合】－ 三種基本排列
處理排列組合的問題，就是設身處地地重複問題的過程：如果是你，你該怎麼做。
一、直線排列
兩個人坐兩個位子，兩種排法。三個人坐三個位子，六種排法。
那五個人做五個位置有幾種排列方式。第一個位置，你可以從五個人裡面選一個。第二個位置，只剩下四種選擇。如此下去，就是
5・4・3・3・1
這記作 5! 五階乘。
六個人坐六個位置，就是6!。算一下，其實沒多少。6・5・4・3・2・1=720。
二、圓形排列或圓桌排列
十個人坐圓桌、十道菜擺圓桌。主要關心的是這十個人的相對關係，做哪個位子倒是其次，換句話說，每一種排法，都可以轉十次。
十個人，第一個人有十種選法、第二個九種，以此類推：
10!
但是可以轉十次。所以是10!/10 = 9!
因此，N個人作圓形排列，就有(N-1)!排法。
三、環形排列
環狀排列，像是手環、項鍊、串珠。跟圓形差在環狀排列還可以翻轉一次。因此，就是圓形排列除以二。
N種串珠做環形排列，就有 (1/2)(N-1)!
【排列組合】－ 組合
數學裡的排列組合是要練習如何『數數』－什麼樣的事物當成是相同，可以互相代替，什麼是不一樣的，不可替換。
人，是不一樣的。黑白珠子，可以是一樣的。
如果有兩色珠子，要放到五個位置。該怎麼放呢？
全黑 1 種
四黑一白 5種
三黑二白 10種
二黑三白 10種 （跟三黑二白相同）
四白一黑 5種 （跟四黑一白相同）
全白 1種 （跟全黑一樣）
這個1, 5, 10, 10, 5, 1 有想到什麼？
巴斯卡三角形，所謂的二項式分佈（的係數）
【排列組合】－ 冰店
冰店老闆大放送，六種料任選三種一盤20元，照海限定。
選三種不一樣（不能重複的料），你有幾種選法？
紅、綠、粉，是6・5・4。但是順序不重要，不用排列。所以還要除掉 3 ´ 2 ´1 的排列。
這就成了 6・5・4/3・2・1 =20。
如果料很多，你跟老闆說，我超愛粉圓的，可以選三個一樣的嗎？老闆說可以。這樣有幾種選法？
這樣就成了，第一樣料6種選法、第二樣6種、第三樣還是6種。
就跟珠子一樣，6・6・6= 216。
這就是組合了。
冰店擴大營業，老闆增加成十種料，限時特價，你可以選四種，每種只限取一次，不能重複。
這就是 = 10!/4!(10-4)! 可以讀作C10選4
其實就是我們原來的算法：10・9・8・7/(4・3・2・1)
再來一個例子，我們要從八個人裡面，選五個當作空間球代表隊員。
那就是 =8!/5!(8-5)! = 8!/5!3!
把分母對調一下：8!/3!5! = 8!/3!(8-3)! 這是。
換句話說，選五個當代表隊員，其實跟選三個留下來是一樣的。說更白話一點，『從一百人裡面挑99個』跟『一百個人挑一個』其實是一樣的。
C的運算
= n!/k!(n-k)! 分母調換一下
= n!/(n-k)!k!
相異之物，可分辨之物，你會遇到C。
相同之物，不可分辨之物，就不會有這問題。
別忘記了，你有三大袋珠子，要排在七個位置，有3・3・3.... ・3，七個3相乘，就是3^7。
【排列組合】－ 數數
這世上沒有不可思議的事情，只存在可能存在之物，只發生可能發生之事。
——京極夏彥
數學沒有秘密，中學階段的排列組合是存在於整數的計數活動。什麼狀況之下，會把哪些當成是相同，又在什麼條件之下，哪些當成是不一樣的。這個弄清楚了，接著在心裡模擬狀況，就可以算出各種排列組合的數目了。
手邊有紅黃藍三種顏色的珠子，分別有七、五、三顆，共十五顆。現在要串成手環，請問可以串出幾種？這樣的問題，一層一層來看。
先是直線排列，再來呈圓形，最後在變成環形。
首先，直線排列怎麼算呢？
七顆紅色一樣、五顆黃色一樣、三顆藍色也一樣。這時候，先把珠子編號，讓這些珠子是可分辨的。於是你有紅1、紅2、一直到紅7，黃1、黃2、一直到黃5，藍色也是如此。這樣就成了十五顆排成直線。
15!
但是對每一種排列而言，紅色是可以互換的、黃色本身也是、藍色也是。所以把這些號碼塗掉，就相當於把同色互換。
於是就變成
15!/(7!5!3!)
圓形排列呢？除掉換位置15次
15!/(15・7!5!3!)
環形呢？是圓形的一半。
【排列組合】－ 整數解問題
x+y =9 有幾組正整數解？
這種正整數解，就要你算有幾個，要你算有幾個的數數問題，就會用到排列組合。最簡單的叫做『窮舉法』，把所有可能性，依照某種順序來計數。
正整數最小是1，所以就從 (1,8)(2,7).....(8,1) 共8種。
如果是問x+y < 9呢？這有另外一個名稱，叫做『線性規劃』，用座標畫起來，就是算那個三角範圍裡面的格子點。這要做什麼呢？例如，你每個月的零用錢有9美元（任何單位都可以），你要吃喝或者玩樂，加起來要小於9美元。那你要怎麼配置呢？
回到正整數解，窮舉法：x+y=2, 3, 4, 5....8 一個一個數。
如果是三個呢？
x+y+z=9
非負的整數，或者說 x,y,x屬於零跟自然數的聯集
先來窮舉法：
x,y = 0, z = 9，1。
y,z = 0, x = 9，1。
x,z = 0, y = 9，1。這類共有三種。
x = 0, y + z = 9，這是剛剛算過的8種。換成y = 0、z = 0，各有8種。這類有24種。
通通不是0，這是剛剛的28種。
總共是 3+24+28 = 55
換個問法，有紅黃藍三袋珠子，取9個排成一列，有幾種排法（接下來再兩步就是做手環了）。這跟 x+y+z=9 的問法是一樣的。
這類問題的解法，不知道是誰想出來的，總之還蠻聰明的。他在九個珠子中間，插入兩個隔板。在隔板左面的是紅色、中間的是黃色、右邊的是藍色珠子，變成11個珠子加2個隔板的排列。這就是 11!/(9!2!) = 11・10/2 = 55。
【排列組合】－經典問題
傳說排列組合問題，是來自印度。話說印度的香料超多種的，如果你的廚房有六種香料，每種一匙，可加可不加，那你可以配出幾種香料組。大家對香料可能沒什麼感覺，我們回到那個經典的台灣味數學題－剉冰店問題，你有六種料，一盤最多可以加三種，你可賣出幾種『口味』的冰。或是有個冰淇淋有六種口味，你可以挖三球，那你可以有多少種組合？
要注意的是問題的條件，全部都要不能重複、可以重複、可以兩球或一球又可以重複、可以兩球或一球但是不能重複。然後是模擬，想像你是店員，或是在吃到飽最後要去挖點心的那個時候。
如果你好好學，這方面已經超越柏拉圖了。歐幾里德整理了當時的幾何定理，加上他自己的堆導證明，成了幾何大全。柏拉圖是在歐幾里德之前的人，所以他懂的幾何，一定沒有歐幾里德多。希臘人多愛幾何啊！什麼都要用幾何來說明，數字，一定要標在數線上。像是有理數b/a，怎麼畫？很簡單，先拉出一條線，上面a等分，連回原來的單位長度一，每段都拉平行線、平行線，這就是(1/a)，接著用這個(1/a)畫畫畫畫b次，就是(b/a)。
與其說希臘人幾何很好，還不如說希臘人只會幾何。（啊？！）不要驚奇，因為他們沒有數字，沒有計算用的數字。他們用a, b 來代表1, 2。請問a+b要等於什麼？等於g。接著的羅馬，數學也沒有多好，你用羅馬數字那個IV, X，來試試加減乘除好了。我們要感謝印度人發明了現在用的數字，可記可計算。又感謝阿拉伯人將這套數字傳播到世界其他地方。有了數字，才能計算，才有代數，才有按部就班解題的方程式。
【排列組合】－少年小澤出任務
現在小澤住在棋盤方格式的街道的城市裡，從這裡要到那裡的圖書館讀書（約了涼子）。請問，不繞路、不迂迴，請問小澤他有幾種走法？
橫向（或東西向）道路有四段、縱向（或南北向）道路有三段，總共七段。換句話說，四橫三直，隨意排列。那就是7!/(4!3!) = 35。
好啦～～要出發的時候，來了一通電話。要小澤中間要經過商家去買有機蛋。（可以不要嗎？）不行，這是媽媽打來的。（好吧～～）
那就變成兩個組合，一田一日，一象一馬（竟然有同學聽得出這個梗）。
那就是
田：4!/(2!2!)
日：3!/(2!1!) 兩個相乘。
於是等於 6・3=18 種走法。
【集合】－ 數學的愛情
在排列組合與機率之間，我們講講『集合』，集合講的是關係。這在後面講條件機率時會用到。元素跟集合的關係有『屬於』或『不屬於』。集合跟集合之間的關係有『包含於』。兩個集合有交集也有聯集。還有一個什麼都沒有的『空集合』，這就像是數字裡面的『0』一樣，空集合又有包含在所有集合裡面。
我們舉些例子，像是小澤桌上的物品之集合、小珊卓上的物品之集合，他們有共同的叫做交集。兩桌合起來有哪些，同樣的只算一次，這是聯集。我們討論的範圍內所有的元素組合起來的就當作是全部或是宇集，自己以外的叫做補集。這裡就有像是互補的概念了，我跟你沒有交集，我們是互補的。
你可以用數學符號寫情書，或是寫分手信。像是『我心屬於你』，或是『你給我的感覺』，給個題目，解出來是『x=1, x=2, x=3』，這不是三個點，而是平面座標上的三條直線。或是解出來是『y=1, y=2』，這叫做，你我就像是兩條平行線。不過，投影幾何給了我們希望，因為平行線最後會交於一點。
有了這些簡單的概念，我們接著講機率、講條件機率，就會簡單多了。難得數學不用計算、不用解方程式、不用問角度。而且，如果是哲學系的人，你會用到這樣的數學邏輯。
【機率】 夜市的數學
處理不確定，但是有範圍、可能這樣可能那樣的事物，就會用到『機率』。像是（如果沒作弊的話）樂透、賭博、夜市彈珠台等等機率遊戲。給錢買汽水，這沒有機率問題。玩遊戲，中獎得汽水，這是機率遊戲。
擲硬幣，硬幣有兩面，正面或反面（先講好哪邊是正面哪邊是反面）。試驗一百次，得到正面48次、反面52次。出現正面的機率是0.48、出現反面的機率是0.52，這是統計的機率。
機率可以用來預測，公平的硬幣，意思是正面跟反面出現的機率一樣。那就是一個一半，各自0.5。玩1000次，預期可能出現幾次正面？ 1000・0.5 = 500次。這是期望值。再換個例子，擲骰子。公平沒作弊的骰子，每面出現的機率一樣，總共有六種結果，所以各自是1/6。擲三次呢？就有6・6・6 六的三次方，有216種可能。那麼『兩次一點，一次三點』的機率有多少？
運用我們之前學的排列組合，算出『兩次一點，一次三點』的組合數，除以總共的可能數。這可以求得 3/216 = 1/72。
也可以這樣看，擲出1的機率有(1/6)、3也是(1/6)，可是順序可以變出三種。所以機率是3(1/6)(1/6)(1/6) 也是1/72。
【機率】 愛心老闆小澤的經營之道
為什麼要算機率？沒有要教大家縱橫賭場，成為賭神2.0。但是如果有擺攤位，玩遊戲，那麼遊戲、獎品、還有門票要怎麼設計，才不會一開店就注定賠錢，人氣愈旺，賠得愈慘。
小澤征二是個有愛心的老闆（沒開店的時候會去指揮一下樂團）。他在店裡設計了一種擲骰子遊戲，擲三次都出現紅色點點（就是一點或是四點）就算中獎，獎品是成本價20元的汽水。
問題是，那玩一次要收多少錢？就是門票訂多少？
（看吧～遊戲：擲骰子、獎品：汽水、門票要多少）
於是我們要算一下這個中獎機率是多少。
紅色的排列有幾種111、114、441、444。各自出現的次數是1, 3, 3, 1。總共有8種。（竟然這麼少！）
機率就是 8/216 = 1/27 （低於1/25=0.04)
中獎的期望值就是20 ´ 1/27，比1還小，大概是0.74。換句話說，每次收一元，你就會賺錢。根據經驗（這是統計），每個月平均有300人次來玩這遊戲。你預期可以透過這遊戲賺多少錢？
300 ・(1-0.74) = 77.8 （777循環）
這時候你可以做一件事，整個放大10倍，用200塊的獎品，每次10元。你每個月就可以收777元了。而且你這愛心老闆很有愛心，獎品是門票的20倍。這很大耶！
有愛心老闆，就有黑心老闆。黑心老闆小澤三點三（不要笑，用數字當名字的，在日本有山本五十六，還有清朝來台官員愛新覺羅五十七。）
小澤三點三在另一個庄頭也開店，盤算了一下，門票10元應該還有得賺，獎品20是門票兩倍。那可以賺多少？
300・(10 - 0.74) > 300・9 =2700。
小澤三點三要怎麼賺錢？資訊不流通的時候，他有機會賺錢。當庄頭的人知道有另一家小澤征二愛心商店，就很少人會花10元去玩這遊戲了。
【機率】商道－店家的四個數字
在機率的世界裡，有個『大數法則』(law of large numbers) 意思是說，實驗愈多次、樣本數愈大，結果就會愈符合理論的預測－統計的機率愈接近理論的機率。
簡單講，擲硬幣一次，不是正面就是反面，不會有二分之一正面這種情形，但是擲個一百次，就會出現接近五十次正面、五十次反面的情形。統計出來的正面機率，就會接近二分之一。
繼續我們昨天開店的議題－我們的商道，店家需要知道的幾個數字：
遊戲的中獎率P、獎品的價格R（不是價值喔～）、每回的門票T、固定成本C。
如果固定成本是以月來計算，那麼假設每個月來玩的人次是N。那就會有這樣的關係：
NT > NPR + C
N(T-PR) > C
換句話說，每一次的門票就要大於發出去獎品的期望值 (T-PR >0)，不然你注定賠錢，來得愈多賠得愈慘。如果你發現店家的 T-PR <0 ，而且還開得很高興，他們一定有其他資金挹注，這遊戲只是噱頭，不是他們的收入來源。
機率、獎品、門票、固定成本，這四個要好好算喔～～
接著我們來看另一家愛心商店，以以之家。他們獎品有了、門票也有了。請問要設定什麼遊戲呢？同學說，在箱子裡有九黑一黃，抽十次都沒抽到黃的就中獎。這中獎機率是(9/10)10。這很高嗎？
其實這很低的。你們開了黑心商店了。我們實際讓同學來抽，還真的撐不到十次就槓龜。
以這麼低的中獎率，一天十人次，一個月300人次。你靠這遊戲就月入7800了。
【機率】 抽籤順序與手氣
先抽後抽有差嗎？
如果抽完籤再放回，同學異口同聲說沒差。
那如果籤抽完，可以帶回家做紀念呢？先抽後抽有差嗎？
有。
如果你說有，那下一題就會問，差在哪裡？（這跟衛生紙廣告不一樣喔！竟然有孩子知道這個梗，還是真是復古啊！）
就你那個九黑一黃的箱子好了。
我們要怎麼算呢？假裝我替你們抽好了，抽第一張就擺在第一個位子、第二張就擺在第二個位子、以此類推。總共有十種擺法，每種的機率都一樣。所以先抽後抽機率是一樣的。
老師，可是壓力，心情壓力不一樣啊～
喔～～那是邊抽邊開講才會有壓力。
抽完再一起揭曉呢？壓力比較小了吧？先講泰國當兵抽籤的事情，現在只剩兩張，而且有一張中籤、一張沒事，只剩下兩個人沒抽，你要先抽還是讓另一個人抽？
當然是先抽啊！這樣感覺命運是自己掌握的。沒抽到沒抽到，就只能怪自己。可是他也這樣想啊！
這時候我們就要講『手氣』，你們相信有手氣嗎？
在六十年前，生四五個小孩是很常見的。如果有個媽媽已經生了三個女兒，現在媽媽又懷孕了，那你覺得第四個是兒子還是女兒？如果前面是三個兒子，那你覺得第四個是兒子還是女兒？
（有人說兒子，有人說女兒，有人說媽媽一定期待女兒或兒子）
如果是擲銅板呢？現在已經出現三正面，你覺得第四次是正面還是反面？
（有正有反有不知道。）
好，重點在這裡，講到人的心情，跟講到物的心情，大家是不一樣的。講銅板，你們很快就講正面或反面。講到生小孩，你們想得比較久一點。有發現了嗎？
如果是機率問題，每次都是二分之一，會覺得正面久了要反面，這是錯誤的期待啊！
【最終章】 －游泳池階段
拿些題目來當我們練習的游泳池，模擬你們園遊會市集擺攤，才不會設錯定價白忙一場。你有可能學到教訓。可是，如果你不知道這背後的數學運作，你永遠只是被教訓，從教訓裡面，你學不到任何東西。即使是賺錢，你也無法累積賺錢經驗的。
現在教育講求素養，走向生活，就先會描寫一段情境，然後問題就在裡面。落落長？沒錯，生活從來就不是簡單問題。
看題有幾個層次：
一、看懂情境嗎？（例如是超市、預算、零用錢、碳足跡）
二、知道在問什麼嗎？
三、知道在問什麼，有辨法轉成數學式嗎？
四、轉成數學式後，會解嗎？
五、會解數學式後，有解對嗎？
六、解出來之後，要選對答案喔！
情境題，例如發牌問題，題目會先介紹紙牌有哪些花色、各有幾張、這個紙牌遊戲怎麼玩。碳足跡標示，會先講一段這是怎麼標示的。總之，現在的趨勢是減輕大家背誦的負擔，只要有基本閱讀能力，你就可以從題目中理解現在的狀況，讀懂在玩什麼遊戲。
知道什麼狀況了，那題目在問什麼？
這是閱讀能力大考驗。閱讀能力怎麼提升？多讀多寫，讀完之後，問問自己作者在寫什麼。接下來，把問題轉成數學式。這裡我大大推薦代數。把問的未知數，設定成x y。一個一個條件列出來，一一換成數學式，然後是解代數問題。在中學階段，代數就像是老實的步行者，一步一步走到目的地。就跟你們熟悉的爬山一樣，是可以一步一步練習得來。
好好地在游泳池練習吧！（除非你是天才，不用在游泳池裡練習，直接在海裡游。）
如果你說有，那下一題就會問，差在哪裡？（這跟衛生紙廣告不一樣喔！竟然有孩子知道這個梗，還是真是復古啊！）
就你那個九黑一黃的箱子好了。
我們要怎麼算呢？假裝我替你們抽好了，抽第一張就擺在第一個位子、第二張就擺在第二個位子、以此類推。總共有十種擺法，每種的機率都一樣。所以先抽後抽機率是一樣的。
老師，可是壓力，心情壓力不一樣啊～
喔～～那是邊抽邊開講才會有壓力。
抽完再一起揭曉呢？壓力比較小了吧？先講泰國當兵抽籤的事情，現在只剩兩張，而且有一張中籤、一張沒事，只剩下兩個人沒抽，你要先抽還是讓另一個人抽？
當然是先抽啊！這樣感覺命運是自己掌握的。沒抽到沒抽到，就只能怪自己。可是他也這樣想啊！
這時候我們就要講『手氣』，你們相信有手氣嗎？
在六十年前，生四五個小孩是很常見的。如果有個媽媽已經生了三個女兒，現在媽媽又懷孕了，那你覺得第四個是兒子還是女兒？如果前面是三個兒子，那你覺得第四個是兒子還是女兒？
（有人說兒子，有人說女兒，有人說媽媽一定期待女兒或兒子）
如果是擲銅板呢？現在已經出現三正面，你覺得第四次是正面還是反面？
（有正有反有不知道。）
好，重點在這裡，講到人的心情，跟講到物的心情，大家是不一樣的。講銅板，你們很快就講正面或反面。講到生小孩，你們想得比較久一點。有發現了嗎？
如果是機率問題，每次都是二分之一，會覺得正面久了要反面，這是錯誤的期待啊！
【最終章】 －游泳池階段
拿些題目來當我們練習的游泳池，模擬你們園遊會市集擺攤，才不會設錯定價白忙一場。你有可能學到教訓。可是，如果你不知道這背後的數學運作，你永遠只是被教訓，從教訓裡面，你學不到任何東西。即使是賺錢，你也無法累積賺錢經驗的。
現在教育講求素養，走向生活，就先會描寫一段情境，然後問題就在裡面。落落長？沒錯，生活從來就不是簡單問題。
看題有幾個層次：
一、看懂情境嗎？（例如是超市、預算、零用錢、碳足跡）
二、知道在問什麼嗎？
三、知道在問什麼，有辨法轉成數學式嗎？
四、轉成數學式後，會解嗎？
五、會解數學式後，有解對嗎？
六、解出來之後，要選對答案喔！
情境題，例如發牌問題，題目會先介紹紙牌有哪些花色、各有幾張、這個紙牌遊戲怎麼玩。碳足跡標示，會先講一段這是怎麼標示的。總之，現在的趨勢是減輕大家背誦的負擔，只要有基本閱讀能力，你就可以從題目中理解現在的狀況，讀懂在玩什麼遊戲。
知道什麼狀況了，那題目在問什麼？
這是閱讀能力大考驗。閱讀能力怎麼提升？多讀多寫，讀完之後，問問自己作者在寫什麼。接下來，把問題轉成數學式。這裡我大大推薦代數。把問的未知數，設定成x y。一個一個條件列出來，一一換成數學式，然後是解代數問題。在中學階段，代數就像是老實的步行者，一步一步走到目的地。就跟你們熟悉的爬山一樣，是可以一步一步練習得來。
好好地在游泳池練習吧！（除非你是天才，不用在游泳池裡練習，直接在海裡游。）
2022年10月1日 星期六
關於Laplace's demon
2021 數學課時，高二生大概聽得有點累了，問了我關於『拉普拉斯的惡魔是什麼』的問題。Demons 之路的重重障礙：
一、最小單位：
時間有最小單位、物體也有最小單位。在這兩者成立之下，Demons才可能回報所有粒子的位置與速度。才有接下來的預測與回溯。問題是，時間有最小單位嗎？
假設時空都有最小單位，Demons還會遭遇名為『測不準原理』的科學障壁。
假設時空都有最小單位，Demons透過某種魔法，可以同時準確測量位置與速度，也超越了光速極限的限制。Demons會遇到名為『空』的佛法屏障。
四、量子糾纏與空：
超越光速極限的方法，就是利用量子糾纏。粒子們都糾纏在一起，知道這個粒子的狀態，就可以立刻馬上知道那個粒子的狀態。可是，Demons不能置身事外，觀察者會因為觀察，而改變那些粒子的狀態。因此，Demons無法回報所謂的在某個時刻的位置與速度。這個沒有置身於事外的獨立觀察者，這樣的道理，在佛家稱為『空』。
最後，Demons只能用近似的方法，預測出可能的未來，回溯可能的過去。他遇到了終極屏障－『空』。
也許還有別的方法準確地預測未來，準確地回溯過去。但是Laplace這招會遇到這些困難。
PS. 我必須要說，Laplace這招不好，要預測未來，應該要去理解世界的原理，才能做出預測。不理解原理，花很大力氣把所有事件記錄下來。
這就像是倉庫管理人，不分類、不整理，來了就堆，找很多小朋友去記憶那些物品的位置。It doesn't work!
一、最小單位：
時間有最小單位、物體也有最小單位。在這兩者成立之下，Demons才可能回報所有粒子的位置與速度。才有接下來的預測與回溯。問題是，時間有最小單位嗎？
假設時空都有最小單位，Demons還會遭遇名為『測不準原理』的科學障壁。
二、測不準原理：
好死不死，你無法同時準確地知道粒子的位置與動量，動量就是質量乘以速度。因此，Demons回報了位置，回報的速度是超不準的；回報了速度，位置就不知何方。
假設時空都有最小單位，Demons透過某種魔法，可以同時準確測量位置與速度，他會遇到名為『相對論』的科學障壁。
好死不死，你無法同時準確地知道粒子的位置與動量，動量就是質量乘以速度。因此，Demons回報了位置，回報的速度是超不準的；回報了速度，位置就不知何方。
假設時空都有最小單位，Demons透過某種魔法，可以同時準確測量位置與速度，他會遇到名為『相對論』的科學障壁。
三、光速極限：
Demons無法瞬間回傳粒子的位置與速度，回傳訊號最快是光速，因此遠方的資訊慢到，近的資訊早到。Demons要等所有資料都回傳，才要計算下一個時間最小單位的粒子狀態嗎？宇宙有多大，他就要等多久。一百億年嗎？
Demons無法瞬間回傳粒子的位置與速度，回傳訊號最快是光速，因此遠方的資訊慢到，近的資訊早到。Demons要等所有資料都回傳，才要計算下一個時間最小單位的粒子狀態嗎？宇宙有多大，他就要等多久。一百億年嗎？
假設時空都有最小單位，Demons透過某種魔法，可以同時準確測量位置與速度，也超越了光速極限的限制。Demons會遇到名為『空』的佛法屏障。
四、量子糾纏與空：
超越光速極限的方法，就是利用量子糾纏。粒子們都糾纏在一起，知道這個粒子的狀態，就可以立刻馬上知道那個粒子的狀態。可是，Demons不能置身事外，觀察者會因為觀察，而改變那些粒子的狀態。因此，Demons無法回報所謂的在某個時刻的位置與速度。這個沒有置身於事外的獨立觀察者，這樣的道理，在佛家稱為『空』。
最後，Demons只能用近似的方法，預測出可能的未來，回溯可能的過去。他遇到了終極屏障－『空』。
也許還有別的方法準確地預測未來，準確地回溯過去。但是Laplace這招會遇到這些困難。
PS. 我必須要說，Laplace這招不好，要預測未來，應該要去理解世界的原理，才能做出預測。不理解原理，花很大力氣把所有事件記錄下來。
這就像是倉庫管理人，不分類、不整理，來了就堆，找很多小朋友去記憶那些物品的位置。It doesn't work!
2022年8月22日 星期一
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樓寓
阿廣是個好青年，他克服年少時摔一大跤的恐懼，努力站起，找到大樓的門，在裡面繞了好幾圈，終於找到一面比較好爬的牆，雙手雙腳加上繩子，千辛萬苦終於爬到二樓。
然後他到了二樓，稍微鬆一口氣，又繼續尋找往三樓的路徑，費盡力氣，繞了好幾圈，又發現一處天花板有破洞，用雙手雙腳爬到了三樓。到了三樓，他發現從這裡看出去，世界變得更大，很多以前看不到的遠方，現在一清二楚。他才發現，原來不遠處有座公園，公園裡還有個圓圓的湖。他心裡想，這麼好的視野，一定要跟大家分享。
於是，他走到陽台，對著在地面的人喊著：來喔～～來喔～～爬到三樓可以讓你看到更遠的地方。
路人阿面抬頭看了一下回應說，喔～～好啊！就來看一下吧！
於是，阿面靠近大樓準備進去。
阿廣在上面大叫，不是那裡啦～～要從這裡進來，這裡才好爬。邊說還激動地指著他剛剛找到的『門』，你一定要從這裡，這裡進來之後，左轉前進再右轉，一定要這樣走，這樣走最快，你會看到有個地方吊著繩索，那是我剛剛留著的，你在拉著繩索可以到二樓。到了二樓，就繼續前進，左轉、右轉、看到天花板有個破洞的地方，那裡我整理過了，你不會被刮傷，然後拉著繩索到三樓。三樓風景很好，可以看到那個有湖的公園。你知道嗎？看到那公園，你一定會覺得身心舒暢。
阿面看了一下心想，從大門進去往右兩步就有電扶梯，可以上二樓、三樓、一路到十樓。往左邊五公尺，有兩部電梯，可以直達十四樓，再走一層樓梯，就到屋頂，還可以看到更遠的森林。好啦～你要這拉繩索也不是不可以。
阿面就從大門進去往右搭電扶梯到三樓，找到阿廣。阿廣看到阿面沒有照他講的上來，不是很高興，還跟阿面說，你要照我那樣做，拉繩子用力上來，這裡就可以看到公園。
喔～～阿面看了阿廣一下。您就繼續看吧～我下樓去了。
阿廣問說，你要去哪裡？這裡很好啊！可以看到公園，公園有湖，可以讓你心情舒暢。
喔～～我要回家了，我家住在公園再過去的森林那邊。
然後他到了二樓，稍微鬆一口氣，又繼續尋找往三樓的路徑，費盡力氣，繞了好幾圈，又發現一處天花板有破洞，用雙手雙腳爬到了三樓。到了三樓，他發現從這裡看出去，世界變得更大，很多以前看不到的遠方，現在一清二楚。他才發現，原來不遠處有座公園，公園裡還有個圓圓的湖。他心裡想，這麼好的視野，一定要跟大家分享。
於是，他走到陽台，對著在地面的人喊著：來喔～～來喔～～爬到三樓可以讓你看到更遠的地方。
路人阿面抬頭看了一下回應說，喔～～好啊！就來看一下吧！
於是，阿面靠近大樓準備進去。
阿廣在上面大叫，不是那裡啦～～要從這裡進來，這裡才好爬。邊說還激動地指著他剛剛找到的『門』，你一定要從這裡，這裡進來之後，左轉前進再右轉，一定要這樣走，這樣走最快，你會看到有個地方吊著繩索，那是我剛剛留著的，你在拉著繩索可以到二樓。到了二樓，就繼續前進，左轉、右轉、看到天花板有個破洞的地方，那裡我整理過了，你不會被刮傷，然後拉著繩索到三樓。三樓風景很好，可以看到那個有湖的公園。你知道嗎？看到那公園，你一定會覺得身心舒暢。
阿面看了一下心想，從大門進去往右兩步就有電扶梯，可以上二樓、三樓、一路到十樓。往左邊五公尺，有兩部電梯，可以直達十四樓，再走一層樓梯，就到屋頂，還可以看到更遠的森林。好啦～你要這拉繩索也不是不可以。
阿面就從大門進去往右搭電扶梯到三樓，找到阿廣。阿廣看到阿面沒有照他講的上來，不是很高興，還跟阿面說，你要照我那樣做，拉繩子用力上來，這裡就可以看到公園。
喔～～阿面看了阿廣一下。您就繼續看吧～我下樓去了。
阿廣問說，你要去哪裡？這裡很好啊！可以看到公園，公園有湖，可以讓你心情舒暢。
喔～～我要回家了，我家住在公園再過去的森林那邊。
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